[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ก็จะขอตอบแบบ hardwork style ล่ะกันนะครับ แต่จะไม่แสดงวิธีพิสูจน์สูตรนะครับ

สมการที่อยู่ในรูป $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{P} $ โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma ,P เป็นจำนวนจริง$
เราสามารถหาค่าของ $P$ ในรูปของ $\alpha ,\beta ,\gamma $ได้ตามพหุนามกำลังสามนี้ครับ
$$2P^3-(36r+6L_3)P^2+(54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6)P+2(3r-L_3)^3=0........(a)$$
เมื่อ $r=\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } $
$L_3=\alpha +\beta +\gamma $
$L_6=\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2$

ผมลองทำดูเเล้วได้ประมาณนี้ครับ Let \(\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2}+\sqrt[3]{\eta_3}=\sqrt[3]{\eta}\) with \(r=\sqrt[3]{\eta_1\eta_2\eta_3}, \wp _1=\eta_1+\eta_2+\eta_3\) and \(\wp_2=\eta^2_1+\eta^2_2+\eta^2_3\)
\[\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2}+\sqrt[3]{\eta_3}=\sqrt[3]{\eta}\Longrightarrow \eta=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}(\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2})+6r=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3r\Longrightarrow \sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}=\dfrac{1}{3}\left(\eta-\wp_1+3r\right)\]
Then we obtain the cubic degree polynomial \[\dfrac{1}{27}\Big(\eta-\wp_1+3r\Big)^3=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3\eta r^2=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+\eta-\wp_1+3r-3\eta r^2\]