ช่วยเอาข้อสอบวิธีทำมาลงให้ครับ (โจทย์ยาวมาก...
)
--------------------
การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 4
วันที่ 4-9 พฤษภาคม 2550
ข้อสอบวันที่สอง
----------
1. จงหาฟังก์ชัน $f:R \rightarrow R$ ทั้งหมดซึ่ง
$$\sum_{i=1}^{2549}f(x_i+x_{i+1})+f(\sum_{i=1}^{2550}x_i)\leq \sum_{i=1}^{2550}f(2x_i)$$สำหรับทุกจำนวนจริง $x_1,x_2,...,x_{2550}$
2. นักเรียนหญิง $n$ คนและนักเรียนชาย $n$ คนในชั้น ม.1/1 อยู่ในงานปาร์ตี้ที่มีการเต้นรำแห่งหนึ่ง ในแต่ละเพลง จะมีนักเรียนชายหญิงจับคู่ขึ้นไปเต้นรำอย่างน้อยหนึ่งคู่ นักเรียนทุกคนที่ขึ้นไปเต้นรำจะได้รับพวงมาลัยคนละหนึ่งพวงเมื่อจบเพลงเสมอ ถ้ามีการเต้นรำทั้งหมด $m$ เพลง
จงแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนนับ $k\leq n$ จะต้องมีกลุ่มนักเรียนที่ประกอบด้วยชาย $k$ คนและหญิง $n-k$ คนซึ่งได้รับพวงมาลัยรวมกันอย่างน้อย $m$ พวง
3. วงกลมสองวงตัดกันที่จุด $X$ และ $Y$ เส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองตัดวงกลมแรกที่จุด $A$ และ $C$ และตัดวงกลมที่สองที่จุด $B$ และ $D$ โดยที่จุด $B$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AC$ และจุด $C$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $BD$ คอร์ดร่วม $XY$ ตัด $BC$ ที่จุด $P$ ให้จุด $O$ เป็นจุดใด ๆ บน $XP$ ที่อยู่ระหว่าง $X$ กับ $P$ ต่อ $CO$ พบวงกลมแรกที่จุด $M$ และต่อ $BO$ พบวงกลมที่สองที่จุด $N$ ต่อ $AM$ และ $DN$ ออกไปพบกันที่ $Z$ จงพิสูจน์ว่า $X,Y$ และ $Z$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
4. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{2^{p-1}-1}{p}}$ เป็นกำลังสองสัมบูรณ์
5. ชั้น ม.1 มีนักเรียนชาย 229 คนและนักเรียนหญิง 271 คน แบ่งเป็น 10 ห้อง ห้องละ 50 คน นักเรียนแต่ละห้องมีเลขที่ 1 ถึง 50 ครูต้องการจัดทีมวิ่งผลัดหนึ่งทีม โดยมีนักเรียนหญิง 1 คนและชาย 3 คน หรือนักเรียนหญิง 3 คนและชาย 1 คน และมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่านักเรียนสี่คนนี้มาจากสองห้อง ห้องละสองคนที่มีเลขที่ตรงกัน (เช่น นักเรียนเลขที่ 2 และ 15 จากห้อง ม.1/1 และ ม.1/3)
จงแสดงว่ามีวิธีตั้งทีมวิ่งผลัดเป็นจำนวนคี่
6. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว $2s$ ถ้าวงกลมแนบในมีรัศมี $r$ และระยะจากจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในไปยังจุดยอดทั้งสามเป็น $s_a,s_b$ และ $s_c$ แล้วจงแสดงว่า
$$\frac{3}{4}+\frac{r}{s_a}+\frac{r}{s_b}+\frac{r}{s_c}\leq \frac{s^2}{12r^2}$$
----------
ปล. ผมว่าตั้งกระทู้ใหม่สำหรับโจทย์ สอวน. ครั้งนี้ดีไหมครับ จะได้เพิ่มลิงก์ในกระทู้ "รวมข้อสอบแข่งขัน ระดับมัธยมศึกษา" และจะได้เหมือนกับกระทู้ สอวน. ครั้งอื่น ๆ ด้วย