อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm
เช่น...อนุกรมกำลังที่มีส.ป.ส.ในรูปของความสัมพันธ์ฟิโบนาชี
$$1+ x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...+a_nx^{n-1}+...$$
โดยที่...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}...เริ่มที่...a_1=1และ.a_2=1$
ซึ่งถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้า.....รัศมีการลู่เข้า...$|x|<\frac{1}{\varphi } $...
...โดยที่..$\varphi คืออัตราส่วนทองคำ$
ผลบวกของอนุกรมกำลังนี้จะสามารถเขียนอยู่ในรูป...
เศษส่วนย่อยของพหุนามได้คือ$\frac{-1}{x^2+x-1} $
หรือในความสัมพันธ์ทั่วไป...
ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์นั้นลู่เข้าแล้ว...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{(\alpha a_1-a_2)x-a_1}{\beta x^2+\alpha x-1} $$
เมื่อ...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...โดย...a_1และ.a_2..คือพจน์เริ่มต้นของความสัมพันธ์$
|
...ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้น...
สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว...
จะสามารถหาผลบวกนั้นได้อยู่ในรูปของเศษส่วนพหุนาม...
...อนุกรมกำลังของฟังก์ชันพหุนามนี่ก็เช่นกัน...
จะสามารถหาผลบวกของอนุกรมนั้นได้ในรูป...
ผลบวกของเศษส่วนย่อยดังนี้...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{a_1}{1-x} +\frac{d_1x}{(1-x)^2} +\frac{d_2x^2}{(1-x)^3} +...+\frac{d_kx^k}{(1-x)^{k+1}} ,|x|<1$$
โดย...$a_n$คือความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปแบบฟังก์ชันพหุนาม...
เช่น...$a_n=2n^2-3n+1$...และ...
$k$...คือดีกรีของพหุนามนั้นเท่ากับ...2...เป็นต้น
$a_1...คือพจน์แรกของอนุกรม$...
$d_1=a_2-a_1$...
$d_2=a_3-2a_2+a_1$...
$d_3=a_4-3a_3+3a_2-a_1$...
...
$d_k=a_{k+1}-\binom{k}{1} a_k+\binom{k}{2}a_{k-1}-\binom{k}{3}a_{k-2}+...+(-1)^{k-1}\binom{k}{k-1}a_2+(-1)^k\binom{k}{k} a_1$