[จูกัดเหลียง]

*(L.Euler)*

$$\dfrac{1}{1^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{2^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\cdot\le ft(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\df rac{1}{4^2} \right)+\dots
=\dfrac{7\pi ^4}{360}$$

ให้ $\mathscr M$ คือก้อนทางซ้าย เนื่องจาก $\displaystyle \zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}, \zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$
$\displaystyle\mathscr M =\zeta(2)^2-\left(\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\left(\df rac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{5^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2} \right)+\dots\right)$
$\displaystyle =\zeta(2)^2-\left(1-\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}\right)-\dfrac{1}{4^4}+\dots\right)$
$=\zeta(2)^2-\left(\mathscr M-\zeta(4)\right)$

$\therefore \mathscr M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi^4}{36}+\dfrac{\pi^4}{90}\right)=\dfrac{7\pi^4}{360}$ ตามต้องการ