อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm
ผลรวมทวินาม...fibonucci
$(1+f)^n=f^{2n}$
เมื่อ...$f^n=F(n)...คือเลขฟิโบนัชที่(n)$
โดย...$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$
หรือ...
$$\binom{n}{1}F(1)+\binom{n}{2}F(2)+\binom{n}{3}+...+\binom{n}{n-1}F(n-1)+\binom{n}{n}F(n)=F(2n)$$
เช่น...
$\binom{5}{1}F(1)+\binom{5}{2}F(2)+\binom{5}{3}F(3)+\binom{5}{4}F(4)+\binom{5}{5}F(5)=F(10)$ |
เลขฟิโบนัชชีในตำแหน่งคู่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกทวินามของเลขฟิโบนัชชีได้เสมอ...
เช่น...
1)...$F(12)=\binom{6}{1}F(1)+\binom{6}{2}F(2)+\binom{6}{3}F(3)+\binom{6}{4}F(4)+\binom{6}{5}F(5)+\binom{6}{6}F(6)$
2)...$F(2000)=\binom{1000}{1}F(1)+\binom{1000}{2}F(2)+\binom{1000}{3}F(3)+...+\binom{1000}{999}F(999)+\binom{1000}{1000}F(1000)$
เป็นต้น...
หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ...
$$(1+f)^n=f^{2n}$$
ในเส้นทางกลับของสมการดังกล่าวคือ...
...เลขฟิโบนัชชีทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลต่างทวินามของเลขฟิโบนัชชีตำแหน่งคู่ได้เสมอ...
เช่น...
1)... $F(6)=F(12)-\binom{6}{1}F(10)+\binom{6}{2}F(8)-\binom{6}{3}F(6)+\binom{6}{4}F(4)-\binom{6}{5}F(2)$
2)... $F(7)=F(14)-\binom{7}{1}F(12)+\binom{7}{2}F(10)-\binom{7}{3}F(8)+\binom{7}{4}F(6)-\binom{7}{5}F(4)+\binom{7}{6}F(2)$
3)...$F(1010)=F(2020)-\binom{1010}{1}F(2018)+\binom{1010}{2}F(2016)-\binom{1010}{3}F(2014)+...+\binom{1010}{1008}F(4)-\binom{1010}{1009}F(2)$
เป็นต้น...
หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ...
$$(f^2-1)^n=f^n$$