อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง
$3.\ ให้\ f(x)\ เป็นพหุนาม\ ในแต่ละครั้งของการดำเนินการสามารถเลือกได้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้$
$\quad (i)\ \ x^2\cdot f(\frac{1}{x} +1)\ $
$\quad (ii)\ (x-1)^2\cdot f(\frac{1}{x-1})\ $
$จงพิจารณาว่า\ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะดำเนินการกับพหุนาม\ x^2+4x+3\ เป็นจำนวนจำกัดครั้ง\ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น\ x^2+10x+9$
|
ข้อนี้สังเกตว่าการดำเนินการสองอันนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน (ถ้าเรียน Linear algebra แล้ว จะมองเป็น linear transformation ก็ได้ ซึ่งเมทริกซ์การแปลงของสองอันนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน) ดังนั้น การทำการดำเนินการสองอันนี้ซ้ำๆกันก็จะตัดกันจนเหลือแค่อันใดอันหนึ่ง และจบการพิสูจน์ด้วยการแสดงว่าถ้าทำการดำเนินการอันใดอันหนึ่งซ้ำๆแล้วจะไม่มีทางได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
การดำเนินการดังกล่าวกับพหุนามดีกรีไม่เกินสองนั้น จะได้ผลลัพธ์เป็นพหุนามดีกรีไม่เกินสองตลอด ดังนี้ (ตามลำดับ)
(1) $\quad ax^2+bx+c \quad \mapsto \quad (a+b+c)x^2+(2a+b)x+a$
(2) $\quad ax^2+bx+c \quad \mapsto \quad cx^2+(b-2c)x+(a-b+c)$
เพื่อความสะดวก จะเขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ได้ว่าการดำเนินการเหล่านี้คือ
(1) $\quad L_1 \quad : \quad (a,b,c) \quad \mapsto \quad (a+b+c,2a+b,a)$
(2) $\quad L_2 \quad : \quad (a,b,c) \quad \mapsto \quad (c,b-2c,a-b+c)$
สังเกตว่า $L_1L_2(a,b,c)=(a,b,c)$ และ $L_2L_1(a,b,c)=(a,b,c)$ หมายความว่าถ้ามีชุดการดำเนินการจำนวนจำกัดชุดหนึ่ง สุดท้ายมันจะตัดกันจนเหลือกำลังของการดำเนินการอันใดอันหนึ่ง เช่น $L_2 L_1 L_2 L_2 L_1 L_2 L_1 L_2 (a,b,c) = L_2^2 (a,b,c)$ ดังนั้น เราสามารถพิจารณาเพียงแค่กรณี $L_1^n(a,b,c)$ และ $L_2^n(a,b,c)$ เมื่อ $n \ge 1$
กรณี 1 $L_1^n(1,4,3)$
$$(1,4,3) \quad \to \quad (8,6,1) \quad \to \quad (15,22,8) \quad \to \quad (45,52,15) \quad \to \quad \cdots$$
สำหรับ $(a,b,c)=(1,4,3)$ ซึ่ง $a,b,c>0$ เมื่อทำการดำเนินการจะได้ว่าทุกตำแหน่งของ $(a+b+c,2a+b,a)$ เป็นบวกหมด นอกจากนี้แล้ว ตำแหน่งแรกของสามสิ่งอันดับหลังการดำเนินการมีค่าเพิ่มขึ้นทุกครั้ง เพราะ $a+b+c>a$ จึงเป็นไปไม่ได้ที่ทำการดำเนินการนี้ซ้ำๆแล้วจะจบที่ $(1,10,9)$
กรณี 2 $L_2^n(1,4,3)$
$$(1,4,3) \quad \to \quad (3,-2,0) \quad \to \quad (0,-2,7) \quad \to \quad (7,-16,9) \quad \to \quad \cdots$$
สังเกตว่าการดำเนินการซ้ำสามครั้งแรกยังไม่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ แต่หลังจากนี้ การดำเนินการนี้ซ้ำๆจะทำให้เกิดผลลัธ์ $(a,b,c)$ ซึ่ง $a,c>0$ และ $b<0$ เสมอ นั่นคือ ความเป็นบวกลบจะคงสภาพเดิม จึงไม่มีทางที่จะทำการดำเนินการนี้ซ้ำๆกับ $(7,-16,9)$ แล้วจบที่ $(1,10,9)$
สมมติว่า $a,c>0$ และ $b<0$ จะได้ว่า $(a',b',c'):=L_2(a,b,c)=(c,b-2c,a-b+c)$ โดยที่ $a'=c>0$, $b'=b-2c<0$ และ $c'=a-b+c>0$ เป็นอันจบการพิสูจน์