มาดูวิธีทำแบบยืดยาดของผมกันดีก่า
เริ่มจากให้ {a
n} เป็นลำดับต่อไปนี้
a
1 =
ึ1+2
a
2 =
ึ1+2ึ1+3
a
3 =
ึ1+2ึ1+3ึ1+4
a
4 =
ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ1+5
...
จะเห็นว่าสิ่งที่เราต้องการก็คือค่าของลิมิตของลำดับ {a
n} นั่นเอง
เพื่อช่วยในการพิสูจน์เราสร้างลำดับ {b
n} ขึ้นมาดังนี้
b
1 =
ึ9 = 3
b
2 =
ึ1+2ึ16 = 3
b
3 =
ึ1+2ึ1+3ึ25 = 3
b
4 =
ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ36 = 3
...
ดังนั้น b
n = 3
"n
ฮN และ 3 ก็คือค่าลิมิตของลำดับ {b
n}
มาถึงจุดนี้ถ้าเราต้องการแค่แสดงว่า {a
n} เป็นลำดับที่คอนเวอร์จก็เพียงให้สังเกตว่า
1. {a
n} เป็น monotonic increasing sequence นั่นคือ a
n ฃ a
n+1 "n
ฮN
2. {a
n} เป็นลำดับที่มี upper bound เพราะ a
n ฃ b
n = 3
"n
ฮN
เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า {a
n} คอนเวอร์จ
แต่เนื่องจากเราต้องการหาลิมิตของ a
n เราสามารถข้ามขั้นตอนนี้ไปได้
แล้วมาพิจารณาค่าของ lim
nฎฅ (a
n - b
n) แทน ซึ่งถ้าเราหาได้ว่าลิมิต
นี้เท่ากับ 0 เราก็จะรู้ทันทีว่าลำดับ {a
n} คอนเวอร์จและมีค่าลิมิตเท่ากับ 3
เพื่อช่วยในการพิสูจน์และทำให้การนิยามลำดับ {a
n} และ {b
n} รัดกุมยิ่งขึ้น
อีกทั้งยังสามารถใช้เป็น algorithm ในการคำนวณหาค่าของ a
n ด้วยคอมพิวเตอร์ได้
ผมจะสร้าง arrays {a
n,k} และ {b
n,k} โดยที่ n
ฮN และ 0
ฃ k
ฃ n ขึ้นดังนี้
a
n,0 = n+1
a
n,k = (n-k+1)
ึ1+an,k-1
b
n,0 = (n+1)(n+3)
b
n,k = (n-k+1)
ึ1+bn,k-1
จะเห็นว่า
a
n,n = a
n
b
n,n = b
n
a
n,k ณ 0
b
n,k = (n-k+1)(n-k+3)
b
n,k+1 = (n-k+2)
2
ดังนั้นเราจะได้ว่า
b
n,k - a
n,k
= (n-k+1){
ึ1+bn,k-1 -
ึ1+an,k-1}
= (n-k+1)(b
n,k-1 - a
n,k-1)/{
ึ1+bn,k-1 +
ึ1+an,k-1}
= (n-k+1)(b
n,k-1 - a
n,k-1)/{(n-k+3) +
ึ1+an,k-1}
ฃ {(n-k+1)/(n-k+4)}(b
n,k-1 - a
n,k-1)
ดังนั้น(อีกที)
0
ฃ b
n - a
n = b
n,n - a
n,n ฃ {n!/((n+3)!/6)}(b
n,0 - a
n,0) = 6/(n+3)
เนื่องจากเรารู้ว่า lim
nฎฅ 6/(n+3) = 0 เราจึงสามารถสรุปได้แล้วว่า lim
nฎฅ a
n = 3