ผมควรจะมาตอบตั้งนานแล้วแต่ก็ไม่ได้ทำสักที แย่จริงๆ
จนกระทั่งได้แรงกระตุ้นจากบทความใหม่ของคุณ gon นี่แหละจึงได้เข้ามาตอบ
คืออย่างนี้ครับ ตามความเห็นของผม ปัญหาในการพิสูจน์ของคุณ TOP อยู่ที่คุณ TOP
กำหนดให้ x
n =
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ...
เนื่องจาก "..." นี่แหละที่ทำให้ x
n ไม่ "well-defined" เพราะเราไม่รู้ว่าเจ้า "..." เนี่ย
มันจะนำเราไปทางไหนสำหรับแต่ละค่าของ n มันอาจจะลู่เข้า หรือไปสู่อนันต์ หรือค่า
มันอาจแกว่งไปมาก็ได้ พูดให้เจาะจงลงไปก็คือเราไม่รู้ด้วยซ้ำไปว่า x
1 หาค่าได้หรือไม่
อาจเป็นไปได้ด้วยซ้ำว่า x
1 คอนเวอร์จ แต่ x
2 ไดเวอร์จ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง x
1
ก็ไม่เท่ากับ
ึ1 + 2x2
ในการพิสูจน์การลู่เข้าของ x
n คุณ TOP อ้างถึงสมการ x
n =
ึ1 + (n + 1)xn+1 แต่เราไม่
มีทางรู้ว่าสมการนี้เป็นจริงหรือไม่ตราบใดที่เรายังไม่รู้ว่า x
n หาค่าได้ (ลู่เข้า)
"n
ฮN
แค่การจับเอา n + 1 ไปแทนค่า n ในนิยามของ x
n ไม่อาจถือได้ว่าเป็นการพิสูจน์สมการ
ดังกล่าว ทั้งนี้เป็นเพราะมีการกระทำที่เกิดขึ้นเป็นอนันต์ครั้งในสูตร
ตามความเห็นของผม การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ "rigorous" ใดๆจำเป็นต้องหลีกเลี่ยง
operation ที่ทำเป็นอนันต์ครั้งโดยที่ยังไม่ "well-defined" เสมอ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้
ประกอบนะครับ
กำหนดให้ f(t) = 1 + t + t
2 + t
3 + ...
จะได้ว่า 1 + t*f(t) = 1 + t(1 + t + t
2 + ...) = 1 + t + t
2 + ... = f(t)
ให้ t = 2 จะได้ 1 + 2f(2) = f(2) ดังนั้น f(2) = -1 เกิดความผิดพลาดขึ้นแล้วไง!
ไม่รู้ว่าคุณ TOP พอจะมองเห็นประเด็นที่ผมพยายามพูดอยู่รึป่าว
