สงสัยวิธีทำข้อ 4 วันที่ 2 ของคุณ [Tong]_1412 นิดนึงครับว่าทำไมถึงบอกว่า
" เนื่องจาก $2^{\frac{p-1}{2}}-1$ เป็นจำนวนคี่ จึงมีค่า k ที่สอดคล้องเพียงค่าเดียวคือ $k=1$ "
Alternative Solution (<< ขอยืมคำนี้มาใช้หน่อยนะครับ
)
ข้อ 7. ใช้ symmetric polynomial
ให้ $\sigma_1=a+b+c,\sigma_2=ab+bc+ca,\sigma_3=abc,S_n=a^n+b^n+c^n$
จะได้ $S_n=\sigma_1S_{n-1}-\sigma_2S_{n-2}+\sigma_3S_{n-3}$ เมื่อ $n=3,4,5,...$ (พิสูจน์ได้โดยการแทนค่า
)
แทนค่าตามโจทย์จะได้ $S_4=\sigma_1S_3-\sigma_2S_2+\sigma_3S_1=3-2(ab+bc+ca)+abc...(*)$
พิจารณา $ab+bc+ca=\frac{1}{2}((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))=-\frac{1}{2}$
และ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$3-3abc=(1)(2-(-\frac{1}{2}))\Longrightarrow abc=\frac{1}{6}$
แทนค่ากลับใน $(*)$ จะได้ $a^4+b^4+c^4=S_4=\frac{25}{6}$
ข้อ 8. สมมติให้ $y=x-1$ ฉะนั้น
$$\sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}=\sum_{k=1}^{84}\frac{y_k+1}{y_k}=\sum_{k=1}^{84}(1+\frac{1}{y_k})=84+\frac{(-สปส. y)}{สปส. y^0}$$
(โดย
Vieta's Formulas)
แทน $x=y+1$ ในโจทย์จะได้ $0=(y+1)^{84}+7(y+1)-6=y^{84}+...+84y+1+7y+7-6=y^{84}+...+91y+2$
$$\therefore \sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}=84-\frac{91}{2}=\frac{77}{2}$$
ข้อ 9. อีกวิธีนึงคือ (วิธีนี้เห็นจากเฉลย
) แทน $x$ ด้วย $1-x$ ครับ (...แล้วใครจะมองออกล่ะนี่)
ปล. พี่ passer-by ช่วยแสดงวิธีคิดข้อ 18 ที่พี่ใช้ให้ดูหน่อยครับ (ข้อ 13 ไม่ใช่ 3600 ครับ)
วาดแผนภาพเซต 2 เซต (หลักเพิ่มเข้าตัดออก อาจจะได้ใช้นิดหน่อยครับ)