อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon
เห็นกระทู้เงียบๆ เลยเอามาฝากครับ
37. If $a_1,a_2,...,a_n$ are positive quantities. Prove that
$$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \,\right)^{a_1+a_2+\cdots+a_n} \leq {a_1^{a_1}}{a_2^{a_2}}\cdots {a_n^{a_n}}$$
|
ให้ $a=a_1+a_2+\cdots+a_n$
โดยอสมการค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจะได้ว่า
$$\Big(\frac{1}{a_1}\Big)^{\frac{a_1}{a}}\Big(\frac{1}{a_2}\Big)^{\frac{a_2}{a}} \cdots \Big(\frac{1}{a_n}\Big)^{\frac{a_n}{a}} \leq \frac{a_1}{a}\cdot \frac{1}{a_1}+\frac{a_2}{a}\cdot \frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{a_n}{a}\cdot \frac{1}{a_n}=\frac{n}{a}$$
จัดรูปจะได้อสมการตามต้องการ
