[Switchgear]

มาลองดูเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ซึ่งจะให้คำตอบตามที่บอกไว้แล้วในความเห็นที่ 12


โจทย์ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, \;y$ และ $z)$ ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$\;\;\; x+y,\; x+z,\; y+z,\; x-y,\; x-z,\; y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้


เฉลยแบบ Second solution

$\;\;\;$ เราสามารถทำให้ $x+y$ และ $x-y$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองได้โดยสมมติให้ $x = p^2+q^2,\; y = 2pq$
ในทำนองเดียวกัน $x+z$ และ $x-z$ จะเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองเมื่อเราให้ $x = r^2+s^2,\; z = 2rs$
$\;\;\;$ เงื่อนไขทั้งสี่ประการเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ $p^2+q^2 = r^2+s^2$

$\;\;\;$ คราวนี้เราให้ $x = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ ซึ่ง $x$ สามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนยกกำลังสอง 2 แบบได้ เมื่อ
$\;\;\;\;\;\;$ $p = ac + bd,\;\; r = ad + bc,\;\; q = ad - bc,\;\; s = ac - bd$
และจะได้ $\;\; y = 2pq = 2(a^2cd+abd^2-abc^2-b^2cd),\;\; z = 2rs = 2(a^2cd+abc^2-abd^2-b^2cd)$
ทำให้ $\;\; y+z = 4cd(a^2-b^2),\;\; y-z = 4ab(d^2-c^2)$ ซึ่งเราต้องทำให้ 2 สมการหลังเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เริ่มต้นโดยทำให้ผลคูณคือ $y^2-z^2$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองก่อน หมายความว่า $ab(a^2-b^2)\cdot cd(d^2-c^2)$
ต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เพื่อให้เกิดผลดังกล่าวได้ เราสมมติว่า $cd(d^2-c^2) = n^2ab(a^2-b^2)$ และเนื่องจากโจทย์ตอนนี้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์
ระหว่างคู่ของ $a,\;b$ กับ $c,\;d$ ดังนั้นจึงสมมติให้ $d = a$ จึงได้สมการเป็น $c(a^2-c^2) = n^2b(a^2-b^2)$ เมื่อจัดรูปใหม่จะได้
$a^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ ซึ่งเศษส่วนนี้จะต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ สมมติว่า $a = b-c$ ทำให้ $b^2-2bc+c^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ จัดรูปได้เป็น $\frac{b}{c} = \frac{n^2+2}{2n^2+1}$ กำหนดให้ $b = n^2+2$
และ $c = 2n^2+1$ เพราะฉะนั้นจะได้ $a = 1-n^2 = d$

$\;\;\;$ ตอนนี้เราทำให้ผลคูณ $ab(d^2-c^2)\cdot cd(a^2-b^2)$ เป็นกำลังสองได้แล้ว เหลือแค่ทำให้แต่ละส่วนเป็นกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เนื่องจาก $ab(d^2-c^2) = ab(d-c)(d+c) = 3n^2(n^2-1)(n^2+2)^2$ แปลว่า $3(n^2-1)$ ต้องเป็นกำลังสอง
ซึ่งก็ไม่ยากเพราะว่า $n^2-1$ แยกตัวประกอบได้ เราแค่ให้ $3(n^2-1) = \frac{f^2}{g^2}(n+1)^2$ ซึ่งจะได้ $n = \frac{f^2+3g^2}{3g^2-f^2}$

$\;\;\;$ ตอนนี้เงื่อนไขทุกอย่างครบถ้วนหมดแล้ว นั่นคือเราสามารถหาค่า $a,\;b,\;c,\;d$ ได้ในรูปของ $f,\;g$ ดังต่อไปนี้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = 1-n^2 = -\frac{12f^2g^2}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; b = n^2+2 = \frac{3f^4-6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; c = 2n^2+1 = \frac{3f^4+6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2}$
$\;\;\;$ เนื่องจากส่วนของทุกตัวเหมือนกันหมด เราสามารถคูณตลอดด้วยตัวส่วน และหาร 3 ก็จะได้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = -4f^2g^2, b = f^4-2f^2g^2+9g^4, c = f^4+2f^2g^2+9g^4$

$\;\;\;$ จากนั้นก็แทน $a,\; b,\; c,\; d$ เพื่อหา $p,\; q,\; r,\; s$ โดย $p = ac+bd,\; q = ad-bc,\; r = ad+bc,\; s = ac-bd$

$\;\;\;$ สุดท้ายก็แทนค่าหา $x,\; y,\; z$ โดย $x = p^2+q^2,\; y = 2pq,\; z = 2rs$ ... เป็นอันเสร็จสิ้นการหาสมการทั่วไปที่ต้องการ

_