อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
|
ให้รากสมรากของ p(x) เป็น p,q,r
จะได้
$pq+qr+rp = a >0$
และ
$p+q+r = 0$
นั่นคือ
$p^2+q^2+r^2 = -2(pq+qr+rp)$
$p^2+q^2+r^2 = -2a < 0$
แต่จำนวนจริงยกกำลังสองมากกว่า 0 เสมอ
จะได้ว่าต้องมีจำนวนเชิงซ้อน
จาก P(x) มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนจริง
จะได้ว่า conjugate มันก็ต้องเป็นราก และมีรากจริงเพียง 1 ราก