อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
มา integrate mania กันต่อ (ข้อนี้น่าจะง่ายขึ้นเยอะแล้วล่ะ)
ให้ a >0 หาค่า $$ \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\tan^{-1}x}{x} \,\,d x $$
|
$\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\int_1^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx+\int_{\frac{1}{a}}^1\frac{\tan^{-1}x}{x}dx}$
$\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\int_1^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx+\int_a^1\frac{\tan^{-1}\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}d\left(\frac{1}{x}\right)}$...replace $x$ by $\dfrac{1}{x}$ in the second integral
$\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\int_1^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx+\int_1^a\frac{\tan^{-1}\dfrac{1}{x}}{x}dx}$
$\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\int_1^a\frac{dx}{x}=\frac{\pi}{2}\ln a}$
Note that : $\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}$
ปล. รู้สึกว่าโรคนี้จะมีคนเป็นน้อยมากเลยนะครับ(เอ๊ะ..ละผมไปติดมาจากใครเนี่ย)
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$