ขอลองทำบ้างนะครับ
6. โดยอสมการ A.M.-H.M. จะได้
$9\leq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=a+b+c$
หารตลอดด้วย abc จะได้
$\begin{array}{rclrl}
\frac{9}{abc}&\leq &\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\\
\frac{8}{abc}&\leq &1-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\frac{1}{abc}&=&(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\\
\frac{64}{(abc)^2}&\leq &(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})\cdot (1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\cdot (1-\frac{1}{c})(1-\frac{1}{a})&=&(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{a}+\frac{1}{bc})(\frac{1}{b}+\frac{1}{ca})\\
\end{array}$
คูณตลอดด้วย $(abc)^3$ จะได้อสมการตามต้องการ
รู้สึกเหมือนวิธีนี้มันวกไปวนมา ยังไงก็ไม่รู้
เพราะมีทั้งหารและคูณด้วย abc คิดว่าน่าจะมีวิธีอื่นอีกครับ