[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ Tricky ครับ

เดี๋ยวถ้าไม่มีใครมาคิดต่อจะเฉลยให้ดูครับ

เฉลยเลยดีกว่า ใครที่อยากคิดต่ออย่าเพิ่งดูเฉลยนะครับ

Solution:

อยากดูจริงเหรอ

แน่ใจนะว่าจะไม่คิดต่อ

เฉลย

คูณ $abc$ ทั้งสองข้าง จะได้
$$(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)\geq 64(abc)^2$$
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ $abc = ab+bc+ca$

โดยอสมการ AM-GM

$a^2 + abc = a^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^4b^2c^2} = 4a\sqrt{bc}$

$b^2 + abc = b^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^4c^2} = 4b\sqrt{ca}$

$c^2 + abc = c^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^2c^4} = 4c\sqrt{ab}$

คูณทั้งสามอสมการเข้าด้วยกันก็จะได้อสมการที่ต้องการ

อีกวิธีนึงคือให้สังเกตว่า

$a^2+ab+bc+ca = (a+b)(a+c)$

$b^2+ab+bc+ca = (b+a)(b+c)$

$c^2+ab+bc+ca = (c+a)(c+b)$

ดังนั้น

$(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)=\Big[(a+b)(b+c)(c+a)\Big]^2\geq (8abc)^2$