นิยาม $$ \prod_{i\in I}A_{i}=\{f:A_{i}\rightarrow \bigcup_{i\in I}A_{i}|f(i)\in A_{i}~ \text{for all}~ i\in I\}$$
นิยาม $$\prod_{i\in I}^{\omega}A_{i}=\{f\in \prod_{i\in I}G_{i}|f(i)=e_{i}~\text{ for all but a finite number of}~ i\in I \} $$
and this set is called
external weak direct product
นิยาม $$L_{k}:A_{k}\rightarrow \prod_{i\in I}A_{i}$$ defined by
$L_{k}(a)=\{a_{i}\}$ where $a_{i}= a$ if $ i=k$ and $a_{i}= e_{i}$ if $i\not= k$
จากการนิยามเช่นนี้เราจะได้ว่า $\forall k\in I$
$$L_{k}(G_{k})\triangleleft \prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}$$
มี Theorem หนึ่งกล่าวว่า
Let $\{N_{i}|i\in I\}$ be a family of normal subgroup of G such that
i) $G=<\bigcup_{i\in I}N_{i} >$ and
ii)$\forall k\in I, N_{k}\cap <\bigcup_{i\in {I-\{k\}}}N_{i}>$
then $G\cong \prod_{i\in I}^{\omega}N_{i}$
The group G which satifies i) and ii) of this Theorem is called the
internal weak direct product of $\{N_{i}|i\in I\}$
คำถามมีอยู่ว่า Prove that
If $\{G_{i}|i\in I\}$ is a family of group, then $\prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}$
is the internal weak direct product of $\{L_{i}(G_{i})|i\in I\}$
คือผมอยากแสดงว่า
i) $\prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}=<\bigcup_{i\in I}L_{i}(G_{i}) >$
ii) For all $k\in I,L_{k}(G_{k})\cap <\bigcup_{i\in I-\{k\}}L_{i}(G_{i})>=\{e_{i}\}.$
จะต้องพิสูจน์อย่างไรให้ได้ตามคุณสมบัติสองข้อนี้ และผมยังไม่ค่อยเข้าใจ group พวกนี้เท่าไหร่
ใครชำนาญด้านนี้อธิบายให้หน่อยนะครับ จักเป็นพระคุณยิ่ง และถ้ายังขาดข้อมูลอะไรก็บอกได้นะครับ
เดี่ยวผมจะมาพิมพ์เพิ่มเติมให้ หรือดูเพิ่มเติมที่
www.math.wvu.edu/~hjlai/Teaching/Math541-641/Lecture_Notes_2006/Week_3.pdf