[nooonuii]

ถ้า $f$ continuous, 1-1, onto ก็อาจจะยังไม่จริงในกรณีทั่วไปนะครับ แต่ตัวอย่างอาจจะพิลึกพิลั่นหน่อยอย่างเช่น ถ้าให้ $$f: (\mathbb{R},D)\to (\mathbb{R},d)$$ นิยามโดย $f(x)=x$ เมื่อ $d$ เป็น usual metric on $\mathbb{R}$ induced by absolute value, $D$ เป็น discrete metric เราจะพบว่า $f$ continuous, 1-1, onto แต่ $f$ ไม่ส่ง open set ไปยัง open set

มีฟังก์ชันอยู่หลายประเภทที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้ครับ โดยทั่วไปเราเรียกฟังก์ชันที่ส่ง open set ไปยัง open set ว่า open map ครับ ตัวอย่างฟังก์ชันลักษณะนี้เช่น

Homeomorphism

Local Homeomorphism

Diffeomorphism

Local Diffeomorphism

Covering Map

เป็นต้น

แต่ละชื่อที่ผมอ้างมาอาจจะไม่คุ้นเคยกันเท่าไหร่เพราะพวกนี้อยู่ในวิชา Topology ระดับสูงอย่างเช่น Algebraic Topology หรือ Differential Geometry ครับ ถ้าจะให้คุ้นเคยกันมากขึ้นก็คงจะเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่หาอนุพันธ์ได้บนจำนวนจริง หรือไม่ก็พวก Bounded Linear operator ใน Functional Analysis ที่น้อง Magpie กล่าวมานี่แหละครับ