เรื่องนี้มันลงลึกไปในเรื่องของ Set Theory ซึ่งพี่ก็ไม่เคยเรียนมาซะด้วยสิ (หวังว่าจะมีผู้รู้มาช่วยอธิบายเสริมด้วยนะครับ
) อย่างไรก็ตามนี่เป็นเพียงความคิดเห็นของพี่เท่านั้น
เราจะมีวิธีวัดอย่างไร เพื่อระบุว่าเซ็ตทั้งสองเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ?
โดยหลักการเบื้องต้นที่เราใช้กันอยู่คือ ใช้วิธีจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง หากเราสามารถแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซ็ตทั้งสองได้ ก็จะถือว่าเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งก็ฟังดูแล้วเข้าท่าดี โดยอาศัยวิธีการนี้ เราลองนำมาใช้ตรวจสอบการเทียบเท่ากันของเซ็ตของ จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และ จำนวนตรรกยะ ว่าจะได้ผลเป็นอย่างไร
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนเต็ม {1,2,3,...}
ซ {0,1,-1,2,-2,3,-3,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคู่ {1,2,3,...}
ซ {0,2,-2,4,-4,6,-6,,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคี่ {1,2,3,...}
ซ {1,-1,3,-3,5,-5,,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนตรรกยะ {1,2,3,...}
ซ {0 , 1/1 , -1/1 , 1/2 , -1/2 , 2/1 , -2/1 , 3/1 , -3/1 , 2/3 , -2/3 , 1/3 , -1/3 , 1/4 , -1/4 , ...} สำหรับวิธีการไล่ลำดับของจำนวนตรรกยะให้ครบ ให้ดูแนวการไล่ตัวเลขจากแผนภาพข้างล่าง
เราจะสรุปได้ว่าเซ็ตของจำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และจำนวนตรรกยะ ล้วนเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน โดยมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์
(ให้สังเกตด้วยว่า เซ็ตเหล่านี้เป็นเซ็ตที่ นับได้ เพราะเราสามารถเขียนแจกแจงออกมาได้ทุกตัว) ผลลัพธ์ที่ได้ขัดกับความรู้สึกรึเปล่า เพราะเรารู้มาว่า N
ฬ Z
ฬ Q ดังนั้นมันควรจะได้ผลลัพธ์เป็น n(N) < n(Z) < n(Q) แสดงว่าการเทียบเท่ากันของเซ็ต ไม่ได้หมายความว่า จะได้จำนวนสมาชิกเท่ากันด้วย ส่วนสาเหตุที่เป็นเช่นนั้นอาจเป็นไปได้ว่า การกำหนดวิธีการตรวจสอบดังกล่าว ใช้ได้ผลกับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกจำกัดเท่านั้น ใช้ไม่ได้กับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ หรือไม่ก็ต้อง ไปคิดกันใหม่ว่า เท่ากันคืออะไร ไม่เท่ากันคืออะไร มากกว่าคืออะไร น้อยกว่าคืออะไร
แล้วกรณีเซ็ตของจำนวนจริงละ เทียบเท่ากันกับเซ็ตของจำนวนนับหรือไม่ สำหรับปัญหาข้อนี้ Cantor ได้แสดงให้เห็นว่าเซ็ตของจำนวนจริง นับไม่ได้ และมีจำนวนมากกว่าเซ็ตของจำนวนนับ สำหรับการพิสูจน์จะใช้วิธี contradiction
โดยสมมติให้ เซ็ตของจำนวนจริงนับได้ ดังนั้นจึงสามารถ เขียนแสดงความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ สมมติว่าเราได้ลำดับของจำนวนจริงออกมาดังรายการข้างล่าง (เอามาเพียงช่วงต้นๆ)
| 3 | . | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | ... |
| 1 | . | 4 | 1 | 4 | 2 | 1 | ... |
| 1 | . | 7 | 3 | 2 | 0 | 5 | ... |
| 2 | . | 2 | 3 | 6 | 0 | 6 | ... |
| 2 | . | 7 | 1 | 8 | 2 | 8 | ... |
| 0 | . | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | ... |
เราจะแสดงให้เห็นว่า มีจำนวนจริงที่ไม่อยู่ในรายการดังกล่าว ขอให้สังเกตตัวเลขในแนวทแยงมุมเป็นสำคัญ (ตัวหนาและขีดเส้นใต้) เราจะเริ่มต้นจากการ
เลือกตัวเลขในหลักที่ 1 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 1 คอลัมน์ที่ 1 สมมติว่าเราเลือกเลข 2
เลือกตัวเลขในหลักที่ 2 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 2 สมมติว่าเราเลือกเลข 3
เลือกตัวเลขในหลักที่ 3 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 3 สมมติว่าเราเลือกเลข 2
เลือกตัวเลขในหลักที่ 4 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 4 คอลัมน์ที่ 4 สมมติว่าเราเลือกเลข 5
เลือกตัวเลขในหลักที่ 5 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 5 คอลัมน์ที่ 5 สมมติว่าเราเลือกเลข 1
เลือกตัวเลขในหลักที่ 6 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 6 คอลัมน์ที่ 6 สมมติว่าเราเลือกเลข 4
ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เราจะได้ว่า จำนวนจริงที่เราหามาได้(2.32514...) จะไม่ซ้ำกับทุกจำนวนจริงที่ปรากฏในรายการดังกล่าวเลย (เพราะจะมีอยู่หลักหนึ่งซึ่งค่าไม่ตรงกันเสมอ) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้
สำหรับการพิสูจน์อันนี้พี่ก็ยังงงๆอยู่ อาจเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไป คือหากเราลองนำวิธีพิสูจน์นี้มาดัดแปลงใช้ ในการพิสูจน์ว่า เซ็ตของจำนวนนับ ไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ ก็น่าจะได้ กล่าวคือ เราลองแสดงรายการของจำนวนนับทั้งหมดออกมา จากนั้นจะมีวิธีเลือกจำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับจำนวนนับที่อยู่ในรายการออกมาได้ โดยเริ่มจากการเลือกเลขหลักหน่วย ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักหน่วยของแถวแรก เลือกเลขหลักสิบ ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักสิบของแถวที่สอง ทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้จำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับในรายการดังกล่าวเช่นกัน
ก็เป็นเพียงความคิดเห็นเล็กๆน้อยๆครับ รอผู้รู้ตัวจริงจะดีกว่า
-----------------------------------------------------
สำหรับสองกระทู้ข้างล่างนี้ เป็นกระทู้ประวัติศาสตร์อันหนึ่ง แห่งห้องหว้ากอ ที่น่าสนใจและยาวมากๆ ต้องตั้งสติให้ดีขณะอ่าน ไม่งั้นลมปราณอาจแตกซ่านได้
(ถ้าที่นี่มีการถกปัญหาคณิตศาสตร์ แบบสองกระทู้นี้ได้จะดีมากครับ
)
ถ้าให้ A = { X | X is a set } แล้วขอถามว่า A เป็น set ใช่หรือไม่?
ลูกถามเลขมา...ตอบไม่ได้...ช่วยตอบที