ตอบคุณ TOP นะครับ (แม้ผมจะไม่ได้รู้และสนใจ set theory เท่าไหร่นัก
)
เราเรียกจำนวนสมาชิกของเซ็ตว่า cardinality ของเซ็ต และกำหนดให้เซ็ตที่เทียบ
เท่ากันมี cardinality เดียวกัน ดังนั้นเราจึงถือว่า
N และ
Z ต่างก็มี
จำนวนสมาชิกเท่ากัน
จริงๆแล้วนิยามของเซ็ตอนันต์ก็คือเซ็ตที่มี proper subset ที่เทียบเท่ากับตัวมันเอง
เรามักใช้ตัว Aleph (ซึ่งเป็นอักษร Hebrew ตัวแรก) ห้อยด้วย 0 เพื่อแทน card(
N)
แต่สมัยก่อนใช้
w ซึ่งผมก็จะขอใช้ตัวนี้แทนไปก่อน เราเรียก
w ว่าเป็น
first transfinite cardinal เพราะ
N เป็นเซ็ตอนันต์ที่เล็กที่สุด
เราใช้ c แทน card(
R) และเราเรียกมันว่า cardinality of continuum
เรารู้ว่า cardinality ของ P(A) (power set ของ A) จะใหญ่กว่า card(A) เสมอ
พูดให้ชัดเจนลงไปได้ว่า card(P(A)) = 2
card(A) > card(A)
และเรายังรู้ด้วยว่า
w = card(
N) = card(
Z) < card(P(
N)) = 2
w = c
ปัญหาที่สำคัญมากที่สุดอันนึงใน set theory ก็คือมีเซ็ต X ที่
w < card(X) < c หรือไม่ (continuum hypothesis)
สำหรับการใช้ Cantor's diagonal argument ในการพิสูจน์ uncountability
ของ
R นั้นเป็นเรื่องละเอียดอ่อนมาก แม้แนวคิดหลักจะเหมือนกับที่คุณ TOP
แสดง แต่โดยทั่วไปแล้วเค้าพิจารณาเฉพาะช่วง [0, 1) นั่นคือพิจารณาเฉพาะจำนวนที่
อยู่ในรูป 0.xxxxxx...
ส่วนเรื่องปัญหาการใช้ Cantor's diagonal argument กับ
N นั้นเกิด
จากตัวเลขที่คุณ TOP สร้างขึ้นมานั้นมันมีค่าเป็นอนันต์ มันไม่ใช่จำนวนนับอะครับ
พูดถึง pantip ผมไม่ได้เข้าไปเล่นมานานหลายปีแล้ว ไม่คิดว่าจะคึกคักกันขนาดนี้
แต่ผมชอบที่นี่มากกว่านะครับ เพราะผมว่าโดยเฉลี่ยแล้วคนที่นี่ nice กว่าเยอะเลย
