มีสมการที่มี $\lambda$ เป็นตัวแปร และ $\alpha, \beta$ เป็นค่าคงที่ครับ ดังนี้ \[ e^{\lambda} = \frac{(1-\alpha)\lambda-\beta}{(1+\alpha)\lambda+\beta}\]
ซึ่งเขาแสดงวิธีการแก้ไว้ดังนี้ครับ
\[ e^{2\lambda} = \frac{(1-\alpha)\lambda-\beta}{(1+\alpha)\lambda+\beta} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} - \frac{2\beta}{(1+\alpha)^2\lambda} + o(|\lambda|^{-2}), |\lambda| \rightarrow \infty\]
Solve the previous equation by virtue of
Rouche's theorem to give $\lambda$ as
\[ \lambda_n = \frac{1}{2}\ln \big\vert \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\big\vert \; \; + \; \; n_\alpha \pi i + o(\frac{1}{|n|}),\; \; |n| \rightarrow \infty\]
where \[ n_\alpha = \left\{\begin{array}{ccc} n &,& 0<\alpha <1 \\ n-\frac{1}{2} &,& \alpha >1 \end{array} \right.\]
Note: $\lambda$ can be complex numbers.
คำถามคือผม งงว่า เขาใช้ยังไงเหรอครับ Rouche's theorem ตรงนี้... ?
ทฤษฎีบอกว่าสมการจะมีรากเท่ากันแต่ไม่ได้บอกว่าเป็นรากเดียวกัน ??