อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
Since $H$ is a subgroup of $<a>$, $H=<a^k>$ for some $k$. The following identity may help
$$ga^ng^{-1}=(gag^{-1})^n.$$
Interesting Problem : Is the following statement true?
If $K$ is a normal subgroup of $H$ and $H$ is a normal subgroup of $G$ then $K$ is a normal subgroup of $G$.
|
สำหรับ Interesting Problem นะครับผมไปหาตัวอย่างมาค้านได้แล้ว กว่าจะหาได้แทบกะอักเลือด
ตัวอย่างที่ 1
Let $G=D_{8}=<r,s|r^{4}=1,s^{2}=1,rs=sr^{-1}>.$Let $H=\{1,r^{2},s,sr^{2}\}$ and $K=\{1,s\}.$ Then since $[G:H]=2$,and $[H:K]=2$,both $K\triangleleft H$ and $H\triangleleft G.$
However , $rsr^{-1}=r^{2}s\in K$ and so $K$ is not normal subgroup of $G$.
อีกตัวอย่างหนึ่งนะครับ
In $S_{4}$,let $V_{4}=\{(1),(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$
We can show that $\{(1),(1\,2)(3\,4)\} \triangleleft V_{4} \triangleleft S_{4}$,
but $\{(1),(1\,2)(3\,4)\}$ is not a normal subgroup of $S_{4}$.
แต่ที่หามาได้ใช่ว่าจะเข้าใจถ่องแท้ คือว่า $D_{8}$ เนี่ยครับหน้าตาที่แท้จริงของมันเป็นอย่างไร
รู้เพียงแต่ว่า $D_{n}$ มี order 2n แต่ไม่ค่อยแน่ใจในหน้าตาของมันสักเท่าไหร่ ใครรู้ช่วยบอกทีนะครับ