[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

41. จงหาคำตอบของระบบสมการ

$x+y+z=111$

$x^3+y^3+z^3= 3xyz$

จากที่ $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz$ จะได้ว่า$111^3=3xyz+3(xy+yz+zx)(111)-3xyz$ จึงได้ $xy+yz+zx=\frac{111^2}{3}$
จากที $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ แทนค่าสิ่งที่มีลงไปได้ $111^2=x^2+y^2+z^2+\frac{2\bullet 111^2}{3}$ จะได้ $x^2+y^2+z^2=\frac{111^2}{3}$ นั่นคือ $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$ จากอสมการของโคชีจะได้ $xy+yz+zx\leq \sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{y^2+z^2+x^2}=x^2+y^2+z^2\therefore x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ ซึ่งอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x=y=z$ ฉะนั้นคำตอบทั้งหมดของสมการ คือ $x=y=z=37$