ขอบคุณสำหรับข้อสอบที่จำมานะครับ ใครนึกออกหมอดูแม่นๆก็เติมได้เลย
ขอเก็บข้อง่ายก่อนละกันครับ.
(ถ้าเจอที่ผิด บอกด้วยนะครับ)
ตอบ 850
อ้างอิง:
4) กำหนด $a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก $a_n\cdot a_{n+3}=a_{n+2}\cdot a_{n+5}$
จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร $\sum_{k = 1}^{2550} a_{2k}\cdot a_{2k-1}$ ลงตัวเสมอ
|
เล่นสมการ
\[a_na_{n+3} = a_{n+2}a_{n+5} \quad \cdots (1)\]\[a_{n+1}a_{n+4} = a_{n+3}a_{n+6} \quad \cdots (2)\]\[a_{n+2}a_{n+5} = a_{n+4}a_{n+7} \quad \cdots (3)\]
$(1)\cdot(2)\cdot(3) : \quad a_{n}a_{n+1} = a_{n+6}a_{n+7}$
ดังนั้น \[a_1a_2 = a_7a_8 = ... = a_{6n-5}a_{6n-4}\] \[a_3a_4 = a_9a_{10} = ... = a_{6n-3}a_{6n-2}\] \[a_5a_6 = a_{11}a_{12} = ... = a_{6n-1}a_{6n}\]
พิจารณา $\sum_{k = 1}^{2550} \cdot a_{2k-1}a_{2k} = (a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6) + ... (a_{5095}a_{5096} + a_{5097}a_{5098} + a_{5099}a_{5100})$
แต่ 6 หาร 5099 ได้ 849 เศษ 5 ดังนั้น
$\sum_{k = 1}^{2550} \cdot a_{2k-1}a_{2k} = 850(a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6)$ นั่นคือ จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร $\sum_{k = 1}^{2550} a_{2k}\cdot a_{2k-1}$ ลงตัวเสมอ 850
อ้างอิง:
กำหนด $f(x) = x^6+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+3 \in R$
มีรากเป็นจำนวนเต็มลบ 6 ตัว(อาจซ้ำกันได้)
จงแสดงว่า $f(2)\geq 27^2$
|
ใช้ FTA + A.M. - G.M.
จะมีจำนวนเต็มบวก a, b, c, d, e, f ที่ทำให้
$f(x) = (x+a)(a+b)(x+c)(x+d)(x+e)(x+f) = x^6 + a_1x^5 + a_2x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + 3$
โดยที่ $abcdef = 3$
แต่ $f(2) = (2+a)(2+b)...(2+f) \ge (2\sqrt{2a})(2\sqrt{2b})...(2\sqrt{2f})$ (โดยอสมการ A.M.-G.M)
= $512\sqrt{abcdef} = 512\sqrt{3} > 729$