อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon
4) สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง $\theta $ และด้านประกอบมุมนี้รวมกันได้ค่าคงที่ จงแสดงว่าสามเหลี่ยมชนิดใดตามเงื่อนไขนี้ที่มีพื้นที่มากที่สุด
และจงแสดงว่าด้านตรงข้ามุมนี้เป็นด้านที่สั้นที่สุด
|
สมมติว่า ด้านประกอบมุมนี้คือ $a,b$
ให้ $A$ แทนพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้
โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า
$$A=\frac{1}{2}ab\sin{\theta}\leq\frac{1}{8}(a+b)^2\sin{\theta}$$
สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a=b$
ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดตามเงื่อนไขนี้คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ส่วนคำถามที่สองคิดว่าไม่จริงถ้าไม่กำหนดเงื่อนไขของมุม $\theta$ เพิ่มมาครับ
