อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile
43. Simplify $$\sum_{n=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}i\binom{n}{i}9^{n-i+1}\right)$$
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$\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}i\binom{n}{i}9^{n-i+1}\right)}=9+\sum_{n=2}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}i\binom{n}{i}9^{n-i+1}\right)$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=9+\sum_{n=2}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}n\binom{n-1}{i-1}9^{n-i+1}\right)}$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=9+\sum_{n=2}^{k}9n\left(\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}9^{n-1-j}\right);j=i-1}$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=9+\sum_{n=2}^{k}9n\cdot 10^{n-1}}$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=9\Big(\sum_{n=1}^{k}n\cdot 10^{n-1}\Big)}$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=9\Big(\frac{9(k+1)10^k-(10^{k+1}-1)}{81}\Big)}$
$\displaystyle{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,=\frac{1+(9k-1)10^k}{9}}$