อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
87. ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และให้ $a_n,n=1,2,3,...$ แทนลำดับ $\dfrac{f(n)}{n}$ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a}$ |
เฉลยดีกว่าครับ ทิ้งไว้นานมากแล้ว
สังเกตว่า $$\frac{f([x])}{[x]}\cdot\frac{[x]}{x}\leq\frac{f(x)}{x}\leq \frac{f([x]+1)}{[x]+1}\cdot\frac{[x]+1}{x}$$
เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $$\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}=1$$
ดังนั้น $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a$$ โดย Squeeze Theorem
