[tatari/nightmare]

1.ให้ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดซึ่ง $999999n=1111....1111(k ตัว)$ จะได้ $n=\frac{111...111( k ตัว)}{999999}$ จากที่ $999999=9\bullet 111111$
ถ้า $9\mid 111...111(k times)$ จะได้ว่า $1+1+1+...+1(k ตัว)$ ก็จะต้องหารด้วย 9 ลงตัว นั่นคือ $9\mid k$
ถ้า $111111\mid 111...111(k time)$ ก็จากที่ $111111\mid 111....111(m ตัว)$ ก็ต่อเมื่อ $6\mid m
\therefore 6\mid k$ ฉะนั้นค่า k ที่น้อยที่สุดซึ่ง $9\mid k,6\mid k$ คือ $k=18$
ดังนั้น ค่า ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขคือ $n=\frac{111...111(18 ตัว)}{999999}=\frac{10^{18}-1}{9(10^7-1)} $
2.ข้อนี้ใช้แค่ความจริงที่ว่า" สำหรับจำนวนคี่ k,$a^k+b^k$ จะหารด้วย $a+b$ ลงตัว ทุก $a,b\in\mathbb{N}$"
แยกเป็น 2 กรณี(ขอกำหนดให้ $s_k=1^k+2^k+3^k+...+n^k$)
(1) n เป็นจำนวนคู่ : $s_k=(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+...+((\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2}+1)^k)=(n+1)(....)$ ฉะนั้น $n+1\mid s_k$
และ $s_k=(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+...+((\frac{n}{2}-1)^k+(\frac{n}{2}+1)^k)+(\frac{n}{2})^k+n^k=n(.....)$ ฉะนั้น $n\mid s_k$ แต่จากที่ n เป็นจำนวนคู่จึงได้ว่า $\frac{n}{2}$ เป็นจำนวนเต็ม $\therefore \frac{n}{2}\mid s_k$ จึงได้ว่า $\frac{n(n+1)}{2}\mid s_k\rightarrow n(n+1)\mid 2(1^k+2^k+3^k+...+n^k)$
ส่วนกรณี n เป็นจำนวนคี่ก็ทำในทำนองเดียวกัน(จับคู่บวกเหมือนกัน)#
3.ต่อไปจะแสดงว่า $7\mid 2^{2^{2n+1}}+3,ทุก n\in\mathbb{N}$
จัดรูป: $(2^{2^{2n+1}}-4)+7
=4(2^{2^{2n+1}-2}-1)+7...(1)$ พิจารณา $2^{2n+1}-2$ จะไดว่า $2^{2n+1}-2=2(2^{2n}-1)=2(4^n-1)$ จากที่ $3\mid 4^n-1 \therefore 3\mid 2^{2n+1}-2$ นั่นคือจะมี $k\in\mathbb{N}$ ซึ่ง
$2^{2n+1}-2=3k$ นำกลับไปแทนใน (1) จะได้
$(2^{2^{2n+1}}-4)+7=4(2^{3k}-1)+7=4(8^k-1)+7$ และจากที่ $7\mid 8^k-1$และ $7\mid 7
,\therefore 7\mid 2^{2^{2n+1}}+3$