อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare
จริงๆไม่ได้มีแค่ 5 ข้อครับมี 6 ข้อ
6.จงพิสูจน์โดยการให้เหตุผลทางคอมบินาทอริกว่า $${n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+n{n\choose n}=n\bullet 2^{n-1}$$
|
พิจารณาการเลือกกรรมการนักเรียนจากนักเรียน n คน (ต้องเลือกกรรมการอย่างน้อย 1 คน) และในกรรมการที่เลือกมาจะต้องเลือกประธานอีก 1 ตำแหน่ง
วิธีนับวิธีที่ 1 เลือกประธาน 1 คนจาก n คน ได้ n วิธี และที่เหลือ n-1 คน จะเลือกมาเป็นกรรมการคือพิจารณาแต่ละคนว่าจะเลือกหรือไม่เลือก มี $2^{n-1}$ วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีในการนับแบบที่ 1 คือ $2\cdot 2^{n-1}$
วิธีนับวิธีที่ 2
กรณีที่ 1 เลือกกรรมการ 1 คนและประธาน 1 คน มีวิธีเลือกคือ $\displaystyle{1\cdot {n \choose 1}}$
กรณีที่ 2 เลือกกรรมการ 2 คนและประธาน 1 คน มีวิธีเลือกคือ $\displaystyle{2\cdot {n \choose 2}}$
กรณีที่ 3 เลือกกรรมการ 3 คนและประธาน 1 คน มีวิธีเลือกคือ $\displaystyle{3\cdot {n \choose 3}}$
.
.
.
กรณีที่ n เลือกกรรมการ n คนและประธาน 1 คน มีวิธีเลือกคือ $\displaystyle{n\cdot {n \choose n}}$
ดังนั้นจำนวนวิธีในการนับแบบที่ 2 คือ $\displaystyle{{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+n{n\choose n}}$
ซึ่งจะได้ว่า $${n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+n{n\choose n}=n\bullet 2^{n-1}$$