พิจารณา
( x+ y + z)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 + z^3 = 27
= x^3 + y^3 +z^3 + 3xy(x+y) + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 = 27
แทนค่า x^3 +y^3 +z^3 = 3 ได้
3xy(x+y) + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 = 24
3 หาร ได้
xy(x+y) + (x+y)^2 z + (x+y)z^2 = 8
เนื่องจาก x + y + z = 3 ดังนั้น x+y = 3 - z
แทนค่า x + y ลงไปจะได้
xy(3 - z) +(3-z)^2 .z + (3-z)z^2 = 8
กระจาย 2 พจน์หลังจะได้
xy(3 -z ) + 9z - 6z^2 + z^3 + 3z^2 - z^3 = 8
จัดใหม่ได้
3z^2 - 9z + (z- 3 )xy = -8
หรือ 3z(z- 3) + (z- 3 )xy = -8
ดึงตัวร่วมจะได้
( z - 3)( 3z +xy) = -8 ****************
พิจารณา 2 วงเล็บคูณกันและเป็นจำนวนเต็มทั้งสองวงเล็บด้วย
เพราะเนื่องจาก x,y และ z ต่างก็เป็นจำนวนเต็ม
พิจารณาค่าของ -8
= (1)(-8) = (-8)(1) = (-1)(8) = (8)(-1) = (2)(-4) = (-4)(2) = (-2)(4) = (4)(-2)
จะพบว่าเป็นไปได้ 8 กรณี
จะอธิบายให้ดูค่อนข้างละเอียด 1 กรณี
กรณีที่ 1 คือ
z - 3 = 1และ 3z + xy = -8
ดังนั้น z = 4และ xy = -20
เนื่องจาก x + y = 3 -z แล้ว x + y = -1
แก้สมการ 2 สมการ xy = -8 กับ x +y = -1
จะได้ (x ,y ) = (-5, 4) = (4, -5)
( note. ไม่ต้องนั่งแก้จริง ๆ หรอก แค่นั่งมองก้รู้
เนื่องจาก เราหาเฉพาะ x,y ที่เป้นจำนวนเต็ม
ดังนั้นกรณีนั้จะได้
(x ,y ,z ) = (-5, 4 ,4 )และ (4, -5, 4 )
เช่นกันกับกรณีที่ 2 จะได้ (4, 4, -5 )
กรณีที่ 3,4,5, 6 จะได้ว่าไม่มี x,y ที่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ 7 จะได้ (1, 1, 1)
และกรณที่ 8 ไม่มี x,y ที่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นคำตอบคือ
(x, y, z) = (-5, 4, 4) , (4, -5, 4 ) , (4, 4, -5 ) และ (1, 1, 1)
Ans