Number Theory
$$R_n=\frac{10^n-1}{9}$$
a) ให้ $m=kn$ จะได้ $$R_m=\frac{10^{kn}-1}{9}=\Big(\frac{10^n-1}{9}\Big)(10^{n(k-1)}+\cdots + 10^n + 1)$$
ดังนั้น $R_n\mid R_m$
b) ใช้สูตร $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$
จะได้ว่า $9(R_m,R_n)=(9R_m,9R_n)=(10^m-1,10^n-1)=10^1-1=9$
ดังนั้น $(R_m,R_n)=1$
ให้ $a_n=333\cdots 31$, $a_n$ มี $3$ $n-1$ ตัว
จะได้ว่า $a_n=3(111\cdots 1) - 2 = 3\Big(\frac{10^{n}-1}{9}\Big)-2=\frac{10^n-7}{3}$
ดังนั้น $3a_n=10^n-7$
โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า
$10^{16n}\equiv 1 (\, \text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$
และเราทราบว่า $10^9\equiv 7 (\, \text{mod}\, 17)$
ดังนั้น $10^{16n+9}\equiv 7 (\, \text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$
เราจึงได้ว่า $3a_{16n+9}\equiv 0 (\,\text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$
แต่ $(3,17)=1$ เราจะได้ $a_{16n+9}\equiv 0 (\,\text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$
เพราะฉะนั้น $a_{16n+9}$ เป็นจำนวนประกอบ ทุกค่า $n$
