สมมติว่า $(n+21)(n-10)=r^2$
จะได้สมการพหุนามกำลังสอง $n^2+11n-(210+r^2)=0$
เนื่องจากพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม discriminant จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $11^2+4(210+r^2)=s^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $s$
เราจึงได้สมการ $31^2=(s-2r)(s+2r)$
โดยทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิตเราจะได้ว่า
$s-2r=\pm 1,\pm 31, \pm 31^2 .....(1)$
$s+2r=\pm 31^2, \pm 31, \pm 1.....(2)$
(2)-(1); $4r=\pm 960, 0$ หรือ $r=\pm 240, 0$
ถ้า $r=0$ จะได้ $n=-21,10$
ถ้า $r=\pm 240$ จะได้ $n=235,-246$
ดังนั้น $n=-246, -21, 10, 235$
