อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare
10.(IMO 1995)ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$
หมายเหตุ:สามารถแก้ได้โดยใช้ AM-GM อย่างเดียวได้
|
Lemma $$\frac{1}{a^3(b+c)} \geq (\frac{3}{2})(\frac{a^{-\frac{5}{2}}}{a^{-\frac{5}{2}}+b^{-\frac{5}{2}}+c^{-\frac{5}{2}}})$$
แทน $$a=\frac{1}{bc},\sqrt{b}=x,\sqrt{c}=y$$ อสมการสมมูลกับ $2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ AM-GM;$2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq (x^{10}y^{10}+2x^4y)+(x^{10}y^{10}+2xy^4)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$
$\therefore$ จาก lemma จะำได้ว่า
$$ \sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)} \geq \frac{3}{2}$$