โจทย์ข้อที่ 1 วิธีที่ผมคิดไว้นะครับ
เรียงตัวเลขในกลุ่ม A จากน้อยไปมาก สมมติเป็น $a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6$ ตามลำดับ
เมื่อพิจารณาตัวเลขเรียงลำดับจาก 1 ถึง 12 จะมีหน้าตาออกมาลักษณะนี้
$\cdots , b , b , a_1 , b , b , \cdots , b , b , a_2 , b , b , \cdots$
เราจะพบว่า
$m_1 = a_1 - 1$
$m_2 = m_1 + a_2 - a_1 - 1 = a_2 - 2$
$m_3 = m_2 + a_3 - a_2 - 1 = a_3 - 3$
$m_4 = m_3 + a_4 - a_3 - 1 = a_4 - 4$
$m_5 = m_4 + a_5 - a_4 - 1 = a_5 - 5$
$m_6 = m_5 + a_6 - a_5 - 1 = a_6 - 6$
หรือ $a_k - m_k = k$ นั่นเอง
ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{k = 1}^{6} (a_k - m_k) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 = 21}$
สำหรับแนวคิดในหนังสือ
เริ่มต้นสมมติให้เรียงตัวเลขในกลุ่ม A แบบเดียวกับข้างบน
พิจารณาค่าของ $a_k$ เราจะพบว่า
มีตัวเลขในกลุ่ม A ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $a_k$ อยู่ $k$ ตัว
มีตัวเลขในกลุ่ม B ที่น้อยกว่า $a_k$ อยู่ $m_k$ ตัว (จากนิยามของ $m_k$)
จำนวนตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $a_k$ มีทั้งสิ้น $a_k$ ตัว
ดังนั้น $a_k = k + m_k$ หรือ $a_k - m_k = k$
จากนั้นก็ทำต่อแบบเดียวกับข้างบน
