[tatari/nightmare]

45.ก่อนอื่นเราจะแสดงว่า $\sum_{cyc}\frac{a}{a^2+2bc}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
$\Longleftrightarrow 0\leq \sum_{cyc}\frac{a(ab+bc+ca-a^2-2bc)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}$ $\Longleftrightarrow 0\leq\sum_{cyc}\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}$
ซึ่งจากความจริงที่ว่า สำหรับทุก $a,b,c,x,y,z>0$ ได้ว่า $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{a+b+c}{x+y+z}$
$\therefore \sum_{cyc}\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}\geq\frac{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)}{(ab+bc+ca)(a+b+c)^2}\geq 0$ (เพราะว่าตัวส่วนของอสมการมากกว่า 0 อยู่แล้ว และตัวเศษก็มากกว่า 0 โดย Schur inequality)
โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
$$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+2bc}}=\sum_{cyc}\sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+2bc}}\leq \sqrt{(a+b+c)(\sum_{cyc}\frac{a}{a^2+2bc})}\leq \sqrt{(a+b+c)\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$$ #