สำหรับวิธีคิดข้อ 31 ของผมนะครับ
สมมติว่าจำนวน 7 หลักดังกล่าวอยู่ในรูป $a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 $
หลังจากได้สมการ $a_6 + a_4 + a_2 + a_0 = a_5 + a_3 + a_1 = k , k = 1, 2, ... , 6$
โดยที่ $1 \le a_6 \le 2, 0 \le a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \le 2$
จากนั้นใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) คือ$ (x + x^2)(1 + x + x^2)^3$ และ $(1 + x + x^2)^3$ ตามลำดับ
เนื่องจาก$ (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2) + 6abc$
ดังนั้น $(1 + x + x^2)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 7x^3 + 6x^4 + 3x^5 + x^6$
นั่นคือ $(x+x^2)(1 + x + x^2)^3 = x + 4x^2 + 9x^3 + 13x^4 + 13x^5 + 9x^6 + 4x^7 + x^8$
จากนั้นหาผลบวกของผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์ของ x ที่ดีกรีเท่ากันคือ 1, 2, ... , 6
จึงได้ (3)(1) + (6)(4) + (7)(9) + (6)(13) + (3)(13) + (1)(9) = 216
หมายเหตุ นับโดยใช้หลักการนับตรงๆก็ำได้ครับ แต่ต้องทำนานหน่อย
