อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare
46.Let $a,b,c,d$ be real number such that $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Prove that
$$a^3+b^3+c^3+d^3\leq 8$$
47.Let $a,b,c\in\left[\frac{1}{3},3\,\right]$.Prove that
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{7}{5}$$     |
โดย S.M.V. theorem(Stronger mixing variables method)
ให้ $$E(a,b,c)=\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}$$,
WLOG; $a=max(a,b,c)$
$E(a,b,c)-E(a,b,\sqrt{ab})=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\left(\sqrt{ab}-c\right)^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+c)(b+c)}\ge 0$
$\therefore E(a,b,\sqrt{ab})-\frac{7}{5}=\frac{(3-x)((1-x)^2+x^2)}{5(x+1)(x^2+1)}\ge 0$
ก็ต่อเมืี่อ $0<x\le 3 $ซึ่งเป็นจริงเสมอเพราะว่า $x=\sqrt{\frac{a}{b}}$
โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ $(a,b,c)=(3,\frac{1}{3},1)$ และการเรียงสลัยเปลี่ยน