ผมจะให้แนวคิดคุณ ELLPOP ลองคิดดูต่อเติมรายละเอียดที่ขาดหายให้สมบูรณ์นะครับ.
สมมติให้ $$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\sin^n \theta d \theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\sin^{n-1} \theta \sin \theta d \theta $$
ทำการหาปริพันธ์แบบแยกส่วน (by part) โดยสมมติให้ u = ... , dv = ... จะได้
$$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$$ (ซึ่งอยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation))
ดังนั้น ถ้า n เป็นจำนวนคี่บวกตั้งแต่ 3 ขึ้นไป จะได้ว่า
$$I_n = \frac{(n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2}{n(n-2)\cdots 5 \cdot 3}I_1$$ (เพื่อความงดงามของขีวิต ควรสนใจกรณี n เป็นจำนวนคู่บวกตั้งแต่ 2 ขึ้นไปด้วยครับ.
)
แต่ $$I_1 = 1$$ ดังนั้น
$$I_n = \frac{(n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2}{n(n-2)\cdots 5 \cdot 3}$$ นั่นคือ$$I_{2n+1} = \frac{(2n)(2n-2) \cdots 4 \cdot 2}{(2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3} = \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!}$$ ตามที่ต้องการ
