สมมติว่าผมมีสมการคอนกรูเอนซ์
$x^2 - x \equiv 0 \pmod{30} $
ทีนี้ถ้าผมจะหาผลเฉลย ผมจะต้องมาพิจารณาสามสมการนี้ใช่ไหมครับ?
$x^2 - x \equiv 0 \pmod{2} $
$x^2 - x \equiv 0 \pmod{3} $
$x^2 - x \equiv 0 \pmod{5} $
ซึ่งถ้าสามสมการนี้มันจะได้ $x \equiv 0,1 \pmod{2}, x \equiv 0,1 \pmod{3}, x \equiv 0,1 \pmod{5}$
ทีนี้ผมลองเปิดดูในหนังสือ สอวน. จากตัวอย่าง
สมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{189} $ ก็แยกสมการ แล้วก็หาคำตอบของสมการ
คำถามข้อต่อไปที่ผมสงสัยคือ สมมติแยกสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{3^3} $ นั่นหมายความว่า เราต้องลองหยิบ x ที่อยู่ใน $\mathbb{Z}_27$ ทุกตัวมาพิจารณาใช่ไหมครับ?
ถ้าไม่ใช่จะมีหลักเกณฑ์อะไรที่พิจารณาบ้างครับ?
จากสมการตัวอย่างอันหลังที่ว่า เขาก็สรุปว่า คำตอบของสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{3^3} $ มีผลเฉลยคือ $x \equiv 4, 13, 22 \pmod{3^3}$ และสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{7} $ มีผลเฉลยคือ $x \equiv 0, 6\pmod{7}$ แล้วสุดท้ายก็สรุปว่า สมการตัวอย่างแรกสุดนี้มี 6 คำตอบ
อยากทราบอีกครับว่า สรุปมาจากไหนว่ามี 6 คำตอบ มาจาก Chinese Remainder Theorem รึเปล่าครับ แล้วถ้ามันมาจริง ๆ มันมาได้อย่างไรครับ
งงจากตรงนี้มานานพอสมควรแล้วครับ
แล้วจะหาหนังสือหรือเว็บอะไรจากไหนที่แก้สมการพวก Quadratic Congruence Equation แบบนี้ละเอียด ๆ อะครับ ? (หรือพวกคอนกรูเอนซ์แบบที่ละเอียดๆ เพราะว่าหาจากหนังสือทฤษฎีจำนวนของที่เป็นภาษาไทยนี่ก็ดูแล้วไม่ค่อยชัด ส่วน text ที่ยืมจากห้องสมุด ก็ยังงงๆ อยู่ครับ)
ขอบคุณมากครับ