[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ลองดูวิธีผมก็แล้วกันนะครับ

โดยทฤษฎีบทตัวประกอบจะได้ว่ามีพหุนาม $q(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ

ถ้าจะใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ รากจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะนะครับ
ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนอตรรกยะเราจึงสรุปได้แค่ว่า $Q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงครับ

My Solution:

โดยขั้นตอนวิธีการหารพหุนามใน $\mathbb{Q}[x]$ เราจะได้
$$P(x)=(x^2-2ax+a^2-b)Q(x)+cx+d;c,d\in\mathbb{Q}$$
แทนค่า $x=a+\sqrt{b}$ ในสมการข้างบนจะได้
$$c(a+\sqrt{b})+d=0$$
สมมติว่า $c\neq 0$ เราจะได้ $\sqrt{b}=-a-\dfrac{d}{c}$ เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งขัดแย้ง
ดังนั้น $c=0$ ซึ่งจะได้ $d=0$ ด้วย
ดังนั้น $a-\sqrt{b}$ เป็นรากของ $P(x)$