[Brownian]

มีข้อสอบแข่งขันบางข้อที่อยากให้ช่วยเฉลยวิธีทำให้หน่อยอ่ะคับ
1. กำหนด $f(x)=\frac{x-4}{x+2}$ และ $g(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-11$ แล้ว $(g^{-1}of)(-1)$ มีค่าเท่าใด

2. กำหนดให้ $f(x)=\sqrt{5-g(x)}$ และ $g(x) = \sqrt{5+2x}$ ถ้า $D_{fog}=[a,b]$ จงหา $2(a+b)$

3. กำหนดให้ F เป็นโฟกัสใน $Q_{1}$ ของ $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ แล้ว ระยะจากจุด F ไปยังวงกลม $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ ที่สั้นที่สุดเป็นเท่าใด

4. ถ้า parabola มีเส้นตรง $y=-2$ เป็น directrix และมีโฟกัสอยู่ที่จุดยอดของ Hyperbola: $25y^2-9x^2-100y-54x-206=0$ ใน $Q_2$ จงหาสมการของพาราโบลา

5. กำหนดให้ $A_x=\bmatrix{1-cos2x & 1+sin2x \\ 1 & \frac{1}{2}+sinx}$ และ $S={x\in [0,2\pi |A_x=singular matrix]}$ จงหาผลบวกของสมาชิกใน S

6. กำหนด g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด $x>0$ และ $g'(3)=4$ จำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้ $g(x^n+2x)=6x^4+4x^3+40$ มีค่าเท่าใด

7. กำหนดให้ $sin \frac{\pi }{100}, sin\frac{2\pi}{100}, sin\frac{3\pi}{100},...,sin\frac{99\pi}{100}$ เป็นรากของสมการพหุนาม $a_1x^{99}+a_2x^{98}+a_3x^{97}+...+a_{100}=0$ ถ้า $a_{100}=-\frac{1}{2^{98}}$ จงหา $a_1$

8. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนตรรกยะ $a, b, c, d$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{14}{13}+13^{99}$

9. จงหาค่าของ $\sum_{\theta = 1^{\circ}}^{44^{\circ}}log_2(1+cosec2\theta+cot2\theta)$

10. กำหนดให้เซต $S=\left\{a,b,c\,\right\}$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^3+24x^2+mx+n=0$ โดยที่ $\frac{3+\sqrt{39}i}{4}\in S$ จงหาค่าของ $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-(a-1)(b-1)(c-1)}{(a+b)(b+c)(c+a)+(a+1)(b+1)(c+1)}$$

ช่วยหน่อยนะครับ...