พิกัดของจุดยอดสามเหลี่ยม ABC เป็น A(1,2,3) , B(2,3,1) , C(3,1,2)
จงหาพิกัดของจุดที่ทำให้เกิดทรงสี่หน้าปกติ (ทรงสี่หน้าที่มีด้านเหมือนกันทุกหน้า) โดยมีสามเหลี่ยม ABC เป็นด้านด้านหนึ่ง(ของทรงสี่หน้านี้)
ให้ P(x,y,z) เป็นจุดยอดอีกจุดของทรงสี่หน้านี้ ดังนั้น PA=PB=PC เขียนเป็นสมการได้คือ$$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2}$$และระยะสูงเอียงของสามเหลี่ยมด้านข้างที่มี P เป็นจุดยอดต้องสูงเท่ากับส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC
ในที่นี้จะสมมติให้ D(1.5,2.5,2) เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนเส้นตรง AB ดังนั้น PD=CD หรือเขียนเป็นสมการได้เป็น $$\sqrt{(x-1.5)^2+(y-2.5)^2+(z-2)^2}=\sqrt{(1-1.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2)^2}$$ ใช้ข้อมูลเหล่านี้แก้หา (x,y,z) ซึ่งควรจะได้สองคำตอบครับ
ปล. จะให้ดี แสดงด้วยว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยแสดงให้ได้ว่้า่ AB=BC=CA ครับ