$\log 2 = ?$
คำถามนี้ง่ายจังเลยครับ แค่จิ้มเครื่องคิดเลขหรือเปิดตาราง logarithm ก็รู้แล้วว่า $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
แล้วค่าในตาราง logarithm มาจากไหนละ
น่าจะมาจากการประมาณด้วยอนุกรมนะ เช่น
\[\ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \right)\ ,\ x > 0\]
แต่หากเรามองย้อนกลับไปดูช่วงที่ John Napier ผู้คิดเรื่อง logarithm มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1550 - 1617 กับช่วงที่ Newton และ Leibniz ผู้คิดเรื่อง Calculus มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1643 - 1727 และค.ศ. 1646 - 1716 ตามลำดับ จะพบว่า สมัยที่ John Napier มีชีวิตอยู่นั้น ยังไม่มี Calculus ครับ ดังนั้นการหาค่า logarithm ด้วยการใช้อนุกรมแบบข้างบนจึงตัดทิ้งได้ เพราะไม่เป็นที่รู้จัก สมัยนั้นก็ไม่มีเครื่องคิดเลขด้วย การคำนวณทุกอย่างต้องใช้มือทั้งสิ้น และ John Napier ใช้เวลาถึง 20 ปี สร้างตาราง logarithm ของเขาขึ้นมา
ปัญหาจึงมีอยู่ว่า หากต้องคำนวณค่า logarithm โดยไม่มีตาราง logarithm และไม่ใช้อนุกรมที่ได้จาก Calculus เราจะมีวิธีไหนคำนวณหาค่า logarithm ได้บ้าง
วิธีหนึ่งที่ผมคิดได้ คือขอให้มีความรู้เรื่องการ บวก ลบ คูณ หาร และ ถอดรากที่สอง ก็สามารถหาค่า logarithm ได้แล้วละ จากนั้นก็อาศัยพลังเข้าฟาดฟันกับมัน
สมมติว่าเราจะหาค่า $\log 2$
ขั้นแรก เริ่มจากสร้างตาราง รากที่สองของ 10 ดังนี้
$\begin{array}{rcl}
10 & = & 10 \\
10^{1/2} & = & 3.1622776601683793319988935444327 \\
10^{1/2^2} & = & 1.7782794100389228012254211951927 \\
10^{1/2^3} & = & 1.3335214321633240256759317152953 \\
10^{1/2^4} & = & 1.1547819846894581796664828872955 \\
10^{1/2^5} & = & 1.0746078283213174972159415319643 \\
10^{1/2^6} & = & 1.0366329284376979972916517249253 \\
10^{1/2^7} & = & 1.0181517217181818414742268885788 \\
10^{1/2^8} & = & 1.0090350448414474377592544239064 \\
10^{1/2^9} & = & 1.0045073642544625156647946943413 \\
10^{1/2^{10}} & = & 1.0022511482929129154656736388666 \\
10^{1/2^{11}} & = & 1.0011249413998798758854264343657 \\
10^{1/2^{12}} & = & 1.0005623126022086366185113678096 \\
10^{1/2^{13}} & = & 1.0002811167877801323992573657697 \\
10^{1/2^{14}} & = & 1.0001405485169472581627711878589 \\
10^{1/2^{15}} & = & 1.0000702717894114355388136386765 \\
10^{1/2^{16}} & = & 1.0000351352774618566085823358616 \\
10^{1/2^{17}} & = & 1.0000175674844226738338472652737 \\
10^{1/2^{18}} & = & 1.0000087837036346121465743155693 \\
10^{1/2^{19}} & = & 1.000004391842173167236282001464 \\
10^{1/2^{20}} & = & 1.0000021959186755542033171375055
\end{array}$
ตารางข้างบนทำโดยใช้เครื่องคิดเลข สำหรับแม่ค้าขายของทั่วไปได้ง่ายมากครับ กดเลข 10 แล้วก็จิ้ม $\surd$ ไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง
ต่อมาจึงพิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $2$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^2} = 1.7782794100389228012254211951927$
ยังขาดไปอีก $2 \div 1.7782794100389228012254211951927 = 1.1246826503806981607899020795534$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.1246826503806981607899020795534$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^5} = 1.0746078283213174972159415319643$
ยังขาดไปอีก $1.1246826503806981607899020795534 \div 1.0746078283213174972159415319643 = 1.0465982293629893761953411005278$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0465982293629893761953411005278$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^6} = 1.0366329284376979972916517249253$
ยังขาดไปอีก $1.0465982293629893761953411005278 \div 1.0366329284376979972916517249253 = 1.0096131433334941539874965186868$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0096131433334941539874965186868$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^8} = 1.0090350448414474377592544239064$
ยังขาดไปอีก $1.0096131433334941539874965186868 \div 1.0090350448414474377592544239064 = 1.0005729221150466131704544736729$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0005729221150466131704544736729$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{12}} = 1.0005623126022086366185113678096$
ยังขาดไปอีก $1.0005729221150466131704544736729 \div 1.0005623126022086366185113678096 = 1.0000106035503279989646029820064$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0000106035503279989646029820064$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{18}} = 1.0000087837036346121465743155693$
ยังขาดไปอีก $1.0000106035503279989646029820064 \div 1.0000087837036346121465743155693 = 1.000001819830708533209106719663$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.000001819830708533209106719663$ มากที่สุด
พบว่า ตารางที่ทำไว้ให้ความละเอียดมากกว่านี้ไม่ได้แล้ว จึงยุติเพียงเท่านี้
เราจึงได้ $10^{1/2^2 + 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^{12} + 1/2^{18}} = 10^{0.301029205322265625} = 1.9999963603452064891434777135859 \approx 2$
ดังนั้น $\log 2 \approx 0.301029205322265625$
ลองเปรียบเทียบกับค่าที่แม่นยำกว่าคือ $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
ก็จะเห็นว่าถูกต้องถึง ทศนิยมตำแหน่งที่ 6
