เป็นจำนวนจริงบวกครับ (แก้ไขแล้ว) เสร็จคุณ dektep ไปอีกจนได้สำหรับข้อนี้
ขออภัยครับพอดีไม่ค่อยสันทัดโจทย์อสมการ เลยหลงๆลืมๆ ไปบ้างแหะๆๆ
ผมขอเฉลยอีกวิธีหนึ่ง
$\because a,b,c > 0 $ และโดยอสมการโคชีจะเห็นว่า
\[ \left[\left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right)\right]^2 \leq 3 \left[ \left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 + \left( \frac{b}{b+2c}\right)^2 \left( \frac{c}{c+2a}\right)^2 \right] \]
ดังนั้นเราเพียงพอที่จะแสดงว่า
\[ 1 \leq \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right)\]
สังเกตว่า \[ \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right) = \left( \frac{a^2}{a^2+2ab}\right) + \left( \frac{b^2}{b^2+2bc}\right) + \left( \frac{c^2}{c^2+2ac}\right)\]
ดังนั้น พิจารณา \[ a+b+c = \sqrt{a^2+2ab} \frac{a}{\sqrt{a^2+2ab}} + \sqrt{b^2+2bc} \frac{b}{\sqrt{b^2+2bc}} + \sqrt{c^2+2ac} \frac{c}{\sqrt{c^2+2ac}} \]
โดยอสมการโคชีอีกครั้งจะได้
\[(a+b+c)^2 \leq (a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ac) \cdot \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right) \]
ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ตามต้องการ