ข้อ 3 โจทย์ไม่ผิดครับ แต่ถ้าจะทำโจทย์ข้อนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์โดยไม่มีคำถามอื่นๆตามมา
ต้องใช้ความรู้ระดับมหาวิทยาลัยครับโดยเฉพาะความจริงที่ว่าทั้งสองอนุกรมในโจทย์ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์จะทำให้เราสามารถโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมโดยที่ค่าของผลบวกยังไม่เปลี่ยนแปลง
(ถ้าอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมจะส่งผลให้เราได้ค่าผลบวก
ที่ต่างออกไปจากอนุกรมเดิม)
กำหนดให้
$S=1+\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$
$T=1-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}-\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$
จะได้ว่า
$S=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{6^4}+\dfrac{1}{9^4}+\cdots)$
$=(1-\dfrac{2}{3^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$
$T=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{6^4}+\cdots)$
$=(1-\dfrac{2}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$
ดังนั้น
$\dfrac{S}{T}=\dfrac{79}{81}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{632}{567}$
