ทยอยเอาแนวคิดเฉพาะข้อที่ได้คิดก่อน หากทดได้เพิ่มจะพยายามพิมพ์ให้ครับ
สมมติ $y=kx,\ z=lx$ สำหรับ $k,l$ บางตัว เนื่องจาก $x \ne 0$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-l}{1-kl}=\frac{l^2-k}{1-kl}=\frac{z^2-xy}{x^2-yz}$$ ทำให้ $k^2+k=l^2+l$ โดยที่ $kl\ne1$ ดังนั้น $(k+\frac12)^2=(l+\frac12)^2$
จากเงื่อนไขที่ได้ เราจะแบ่งเป็นสองกรณีดังนี้
กรณีแรก $k=l$ จะพบว่า $$\frac{k^2-k}{1-k^2}=\frac{-k}{1+k}=2,\qquad k\ne\pm1$$ดังนั้น $k=l=-\frac23$ นั่นคือ $x=\pm\frac{3}{\sqrt5},\ y=z=\mp\frac{2}{\sqrt5}$
กรณีหลัง $l+k+1=0$ จะพบว่า $x+y+z=0$
แต่จาก $y^2-x^2=z(x-y)+1$ จะได้ $(x+y+z)(x-y)+1=1\ne0$
ค่าสูงสุดที่ต้องการจึงเท่ากับ $\frac{1}{\sqrt5}$
ให้ $S,T$ แทนผลรวมที่โจทย์กำหนดให้และผลรวมที่ต้องการหาตามลำดับ ดังนั้น $T=S-\frac14S=\frac{\pi^2}{8}$
ลองเริ่มจากแทน $x=-y-z$ เพื่อแสดงว่า $x+y+z$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+y^3+z^3-3xyz$ สิครับ
จัดรูป แล้วแยกตัวประกอบเทอมทางซ้ายของแต่ละสมการก่อน จะได้
$$\begin{eqnarray}
(a+b+c)(abc-1)&=-8&\\
(a+b+c)(ab+bc+ca)&=&2\\
(ab+bc+ca)(abc-1)&=-4&\\
\end{eqnarray}$$ดังนั้น$$(a+b+c)(ab+bc+ca)^2(abc-1)=(a+b+c)(abc-1)$$
กำจัดเทอมซ้ำ และพิจารณาเงื่อนไข $a+b+c>0$ ประกอบ จะพบว่า $ab+bc+ca=-1=abc,\ a+b+c=4$
จาก $\sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab=18,\ \sum a^3=(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)+3abc=73$ $\sum a^2b^2=(\sum ab)^2-2abc\sum a=9$ และ
$\sum (a^2b^3+a^3b^2)=4\sum a^2b^2-abc(\sum ab)=35$
ดังนั้น $\sum a^5=\sum a^2\sum a^3-\sum (a^2b^3+a^3b^2)=1279$
พิจารณา $$\frac1{x}-\frac{19}{97}=\frac1{xy}(1+\frac1{z})$$ จะพบว่า $97y-19xy=97(\frac{z+1}{z})$ นั่นคือ $z\vert 97$
เมื่อ $z=1$ จะได้ $97(\frac{y-2}{y})=19x$ เพราะ $y\ne 2$ ดังนั้น $y=1,97$ แต่ทั้งสองค่าจะให้ $x$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
เมื่อ $z=97$ จะได้ $97-\frac{98}{y}=19x\quad\dots(*)$ ดังนั้น $y=1,2,7,14,49,98$
แต่เมื่อทดสอบกับ $(*)$ จะพบว่ามีแต่ $(x,y,z)=(5,49,97)$ ที่สอดคล้อง ดังนั้น $4x+3y+4z=555$