ให้
$$a_n = \left(\,^n_0\right)+\left(\,^n_3\right)+\left(\,^n_6 \right)+\cdots$$
$$b_n= \left(\,^n_1\right)+\left(\,^n_4\right)+\left(\,^n_7 \right)+\cdots$$
$$c_n= \left(\,^n_2\right)+\left(\,^n_5\right)+\left(\,^n_8 \right)+\cdots$$
และ $\omega = \cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}$ เป็นรากที่สามของ $1$
โดยทฤษฎีบททวินามเราจะได้ว่า
$(1+\omega)^n=a_n+b_n\omega+c_n\omega^2$
$\quad\quad\quad\quad = a_n+(b_n+c_n)\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i(b_n-c_n)\sin{\dfrac{2\pi}{3}}$
แต่ $\omega$ เป็นรากของสมการ $x^2+x+1=0$
ดังนั้น $1+\omega=-\omega^2$
$(1+\omega)^n=(-1)^n\omega^{2n}=(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}+i(-1)^n\sin{\dfrac{4n\pi}{3}}$
เราจึงได้ว่า
$a_n+(b_n+c_n)\cos{\dfrac{2\pi}{3}}=(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}$
$(b_n-c_n)\sin{\dfrac{2\pi}{3}}=(-1)^n\sin{\dfrac{4n\pi}{3}}$
แต่จากทฤษฎีบททวินามเราทราบว่า
$a_n+b_n+c_n=2^n$
แก้ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรแล้วจัดรูปจะได้
$a_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}\Big)$
$b_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{(4n-2)\pi}{3}}\Big)$
$c_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{(4n+2)\pi}{3}}\Big)$
