[gon]

รู้สึกว่าน้องรักเร่ จะเข้าใจอะไรผิดไปนะครับ. ปัญหาที่คุณกามศักด์ตั้งไว้เป็นครั้งที่ 2 นั้น ปัจจุบันคงยังไม่มีใครคิดได้นะครับ. และที่ ๆ เขียนตอบอะไรไว้นั้น นั่นก็ไม่ใช่สูตรอะไรนะครับ แค่เป็นเพียงการจัดรูปธรรมดา ๆ เท่านั้นเองลองดู ๆ ดีก็เข้าใจครับ.

รู้จักจำนวนเบอร์นูลลีหรือเปล่าครับ. ประมาณราว 1 ก่อนเพื่อนพี่ (Top) เอาปัญหามาให้พี่ลองคิดดูเล่นเกี่ยวกับอนุกรม ซึ่งปัญหานี้ก็นำไปสู่ จำนวนเบอร์นูลลีนั่นเอง ก็ไม่มีปัญหาอะไร ต่อมา Top ก็เลยตั้งปัญหาที่มันเป็น general case กว่าขึ้นไปอีก ทีแรกเอาแนวคิดเดิมที่ใช้แก้ปัญหาที่แล้วมาคิดไม่ได้ เพราะมันจะเป็น recuurence relation ถึง 2 มิติ ซึ่งแน่นอนไม่มีสอนวิธีการแก้ปัญหาแบบนี้กัน แค่ 1 มิติ แต่ซ้อนกัน 3 ชั้นก็ยากเต็มทีแล้ว ต่อมาโดย sense บางอย่างของ Top จึงตั้งสมการ recurrence สมการหนึ่งออกมาได้ ซึ่งเป็นทางที่จะนำไปสู่การแก้ปัญหาดังกล่าว

ทีแรกก็ยังคิดไม่ออกอยู่ดี เพราะมันไม่มีการสอนวิธีการแก้ปัญหาแบบนี้อยู่ แต่ด้วย sense บางอย่างของพี่จึงทำให้สามารถมองเห็นรูปแบบบางอย่างออก จึงเริ่มแก้ได้ในที่สุด เช่นได้สัมประสิทธิ์ตัวแรกเป็น a₁ = -(2m + 1)/(6ด2^m-1(n-1)! (ไม่ใช่ตัวเลขเดี๋ยว ๆ เพราะมันเป็น general case กว่า) หรือตัวต่อมา a₂ = (4m² + 4m + 3)/(72ด2^m-2(m - 2)! ตัวต่อไปยิ่งโหดเข้าไปอีกเรื่อย ๆ ๆ อีกทั้งเรายังไม่มีเอกลักษณ์ทาง Combinatorics ที่จะ simplify ปัญหาในสมการด้วย คิดได้ถึงแค่ตัวที่ 3 ก็แทบใจจะขาดแล้ว จึงหยุดคิด ต่อมา Top จึงใช้วิชาเมตริกซ์นำสมการจับไปใส่โปรแกรม Mathematica เพื่อให้ช่วย Solve ให้ และแล้วเราก็พิมพ์ผลลัพธ์ออกมาดู ปรากฏว่ามันโหดขึ้นเรื่อย ๆ จริง เราสั่งให้มันพยายามจัดในรูปอย่างง่ายที่สุด เพื่อให้มองรูปแบบออกโดยการพยายามแยกตัวประกอบ ปรากฏว่าเห็นครับว่ารูปแบบมันมี โดยสัมประสิมธิ์ของพจน์คี่มันพอยังมองออก 3 ใน 10 ส่วน แต่สัมประสิมธิ์ของพจน์คู่นั้นมองไม่ออกเลย มันซับซ้อนมากจนเกินกว่าที่ Super sense ของคนจะมองออก เราจึงถึงบางอ้อ ว่าทำไมมันจึงไม่เคยปรากฏในสูตร Text Book เล่มใด ๆ หรือ ตำราเล่มใด ๆ ที่เราเคยเจอมาก่อนเลย เพราะ 1. มันไม่สามารถเขียนในรูปง่าย ๆ ออกมาได้ 2.ถึงแม้ว่ามันเขียนรูปออกมาได้ สูตรของมันก็ไม่อาจจะเรียกว่าสูตรได้ เพราะการที่เราเรียกว่าสูตรเพราะเราคาดหวังว่ามันจะช่วยทำให้การคำนวณต่าง ๆ มันง่ายขึ้น แต่นี่กลับทำให้ยากขึ้นไปอีก

ในเรื่องของ 1! + 2! + ... + n! นี่ก็เช่นกัน ถึงคิดได้ แต่ก็คงเขียนออกมาในรูปง่าย ๆ ไม่ได้ ถึงเขียนออกมาก็ไม่ได้ช่วยทำให้คำนวณได้เร็วขึ้นตรงไหนเลย และที่สำคัญ จะมีสักกี่คนที่จะจำสูตรนั้นได้ !!!