[nooonuii]

ขอทำแบบคร่าวๆนะครับ เพราะผมก็มั่วมา มีบางจุดที่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าจริงครับ

ก่อนอื่นพิสูจน์ว่า $a\leq e$ ซึ่งตรงส่วนนี้ผมอ้างว่า ถ้า $a>e$ จะได้อสมการ $\log_a x< x < a^x$

ต่อไปผมอ้างว่า กราฟของสองฟังก์ชันตัดกันที่เส้นตรง $y=x$ เมื่อ $a>1$ หรือ $y=-x$ เมื่อ $a<1$

สองอันนี้ละไว้ให้ลองพิสูจน์หรือแย้งมาก็ได้ถ้าไม่จริงครับ

สมมติว่า a > 1
ดังนั้นที่จุดที่สองกราฟสัมผัสกันเราจะได้สมการ
$$\log_a x=x =a^x$$
แต่ที่จุดสัมผัสความชันของทั้งสองกราฟเท่ากันจึงได้
$$\frac{1}{(\ln a)x}=(\ln{a})a^x=(\ln{a})x$$
ดังนั้น
$x=\pm \dfrac{1}{\ln a}$
แต่ $x>0$ จึงเลือก $x=\dfrac{1}{\ln a}$ หรือ $a^x=e$
ดังนั้น $x=a^x=e$ จึงได้ $a=e^{1/e}$

กรณี $a<1$ ก็ทำเหมือนกันได้ $a=e^{-e}$ ครับ