อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep
2.Find all function $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ such that
$$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x) = 3f(x)+3f(y)+3f(z)$$
|
ให้ $x=y=z=0;4f(0)=9f(0)\Rightarrow f(0)=0$..............(1)
ให้ $y=z=0;f(x)+f(x)+f(-x)=3f(x)\Rightarrow f(x)=f(-x)$......................(2)
ให้ $z=0;f(x+y)+f(x-y)+f(x)+f(y)=3f(x)+3f(y)\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$................(3)
ให้ $r\in\mathbb{Q}$
จะำพิสูจน์ว่า $f(nr)=n^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $n$........................(4)
ถ้า $n=1$ เห็นได้ชัดว่าจริง
สมมติว่า $f(kr)=k^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $k\leq n$
ให้ $x=nr,y=r$ แล้วแทนค่าใน (3) จะัได้
$f(nr+r)+f(nr-r)=2f(nr)+2f(r)$
$f((n+1)r)=2n^2f(r)+2f(r)-(n-1)^2f(r)=(n+1)^2f(r)$
ดังนั้น (4) จริงโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ให้ $m,n\in\mathbb{N}$
จะำพิสูจน์ว่า $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$........................(5)
จาก (4) เราจะได้
$m^2f(1)= f(m)$
$ ~~~~~~~~~= f\big(n\cdot\dfrac{m}{n}\big)$
$ ~~~~~~~~~= n^2f\big(\dfrac{m}{n}\big)$
ดังนั้น $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$
จาก (1),(2), และ (5) เราจึงได้ว่า
$f(x)=f(1)x^2$ สำหรับทุก $x\in\mathbb{Q}$
