[nooonuii]

153.2

My Solution :

ให้ $x=\sqrt[m]{a}$ จะได้อสมการสมมูลกับ
$(x^2-1)(x^{2n-2}+\cdots + x^2 + 1-nx^{n-1})\geq 0$
ซึ่งเป็นจริงเพราะทั้งสองเทอมเป็นบวก
เทอมแรกเป็นบวกเพราะ $x>1$
เทอมที่สองเป็นบวกโดยอสมการ AM-GM

200.2

My Solution:

$a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]$
$~~~~~~~~~~~~~~~=3abc+1-3(ab+bc+ca)$

ดังนั้น

$a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca= 1-2(ab+bc+ca)+3abc$

อสมการจึงสมมูลกับ

$15(ab+bc+ca)\leq 4+27abc$

จากอสมการ

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

จะได้ว่า

$4(ab+bc+ca)\leq 1+9abc$

ดังนั้น

$12(ab+bc+ca)\leq 3 + 27abc$

แต่ $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=1$

เำพราะฉะนั้น $15(ab+bc+ca)\leq 4+27abc$ ตามต้องการ

200.6

My Solution:

$\sin(\pi-x)=\sin{\pi}\cos{x}-\cos{\pi}\sin{x}=\sin{x}$
ดังนั้น
$ \sin{a}+\sin{b}+\sin{c}+\sin{(a+b+c)}=sin{a}+\sin{b}+\sin{c}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,=\sin{(\pi-a)}+\sin{(\pi-b)}+\sin{(\pi-c)}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,=\sin{(a+b)}+\sin{(b+c)}+\sin{(c+a)}$

220.1

My Solution :

ให้ $x=a-b,y=b-c,z=c-a$ จะได้ $x+y+z=0$
ดังนั้นใช้เอกลักษณ์ $\dfrac{x^5+y^5+z^5}{5}=\Big(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\Big)\Big(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\Big)$
และ $x^3+y^3+z^3=3xyz$

243.1

My Solution:

เทอมทางขวามือเท่ากับเทอมทางซ้ายมือคูณกับสังยุคของมัน
ดังนั้น เทอมทางซ้ายมือเท่ากับศูนย์ หรือ สังยุคของมันเท่ากับหนึ่ง
แก้สมการแล้วแทนค่ากลับเพื่อเช็คคำตอบได้ $x=\dfrac{1}{3},\dfrac{56}{65}$
คำตอบที่ใช้ไม่ได้คือ $x=0$

291.4

Sketch of Proof:

1. แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

2. แสดงว่า $f(0)=0$

3. แสดงว่า $f(f(x))=x$ ทุก $x$

4. แสดงว่า $f(-1)=-f(1)$

5. แสดงโดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $f(nr)=nf(r)$ ทุก $n\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{Q}$

6. แสดงว่า $f(x)=f(1)x$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$

7. แทนค่าข้อ 6 ในเงื่อนไขโจทย์จะได้ $f(x)=x$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$ หรือ $f(x)=-x$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$

295.1

My Solution:

พิสูจน์ว่า $(a+c)(b+d)+2(ac+bd)\leq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{2}$
ซึ่งอสมการสมมูลกับ $(a-c)^2 + (b-d)^2 \geq 0$

300.1

My Solution:

$$1\leq x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$

อสมการแรกเห็นได้ชัดจาก $x,y\geq 0$
อสมการที่สองยกกำลังสองทั้งสองข้างได้

$~~~x^2(1+y)+y^2(1+x)+2xy\sqrt{(1+x)(1+y)}\leq \dfrac{3}{2}$

$(x^2+y^2)+xy(x+y)+2xy\sqrt{1+(x+y)+xy}\leq\dfrac{3}{2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1-2xy)+xy+2xy\sqrt{2+xy}\leq\dfrac{3}{2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4xy\sqrt{2+xy}\leq 1+2xy$

แต่ $4xy\leq 1$ (โดย AM-GM) จะได้

$4xy\sqrt{2+xy}\leq 4xy\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~=6xy$
$~~~~~~~~~~~~~~~~\leq 1+2xy$

342.3

My Solution :

จัดรูปอสมการไปเรื่อยๆจะได้อสมการสมมูลกับ $81(7a-1)^2\geq 0$

345.6

My Solution:

สมมติว่า $1\in A,2\in B,3\in C$
จาก $a+c\in A$ จะได้ $a+nc\in A$ ทุก $a\in A,c\in C$
ดังนั้น $3n+1\in A$ ทุก $n\geq 0$

จาก $a+b\in B$ จะได้ $a+nb\in B$ ทุก $b\in B,c\in C$
ดังนั้น $3n+2\in B$ ทุก $n\geq 0$

ให้ $n\geq 2$ จะได้ $3n=[3(n-2)+1] + 5 \in C$

ดังนั้น

$A=\{3n+1 : n\geq 0\}$

$B=\{3n+2 : n\geq 0\}$

$C=\{3n : n\geq 1\}$

คำตอบที่เหลือจะเป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสามเซตนี้

346.6

My Solution:

ให้ $a=x-2,b=y-2,c=z-2$ จะำได้

$\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1$

ซึ่งสมมูลกับ

$4=abc + ab+bc+ca$

ให้ $p=\sqrt[3]{abc}$ จะได้

$4= abc + ab+bc+ca \geq abc + 3 \sqrt[3]{(abc)^2} = p^3 + 3p^2$

ดังนั้น $p^3+3p^2-4\leq 0 \Rightarrow (p-1)(p+2)^2 \leq 0$

เพราะฉะนั้น $p\leq 1$

347.2

My Solution:

จาก $z(z+y)=3$ จะได้ $z$ หาร $3$ ลงตัว
ดังนั้น $z=\pm 1,\pm 3$
แทนค่าแล้วจะพบว่าไม่มีคำตอบ

348.2

My Solution:

โดยอสมการ power mean
$x+y+z \leq 3\Big(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\Big)^{1/3}\leq 3$
ดังนั้น
$3=x^3+y^3+z^3$

$~=3xyz+(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]$

$~\leq 3xyz + 3[9-3(xy+yz+zx)]$

$3(xy+yz+zx) - xyz \leq 8$